Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

x®0

Доказательство:

SOMN=1/2 sin(x)

SсекOMN=1/2(x)

SOKN=1/2 tg(x)

SOMN<SсекOMN< SOKN

1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)

sin(x)<x<tg(x)

1<x/sin(x)<1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

n®+¥

lim (1-cos(x))=0 Þ lim (cos(x))=1

x®0 x®0

lim (x/sin(x))=0

x®0

x>0

lim (x/sin(x))=1

x®0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

x®0 x®0

Определение бесконечного предела и пределов при х®+¥.

 
 


lim (f (x))=+¥ Û "ε>0 $d>0: " xÎO°d(x0)Þf(x)ÎOε(+¥)

x®x°

"(x): 0<|x-x0|<d

(////////// x

ε

 

 
 


lim (f (x))=-¥ Û "ε>0 $d>0: " xÎO°d(x0)Þf(x)ÎOε(-¥)

x®x°

"(x): 0<|x-x0|<d

 

 
 


lim (f (x))=¥ Û "ε>0 $d>0: " xÎO°d(x0)Þf(x)ÎOε(¥)

x®x°

|f(x)|>ε

 

 

 
 

 


lim (f (x))=b Û "ε>0 $∆>0: " xÎO(+¥)Þf(x)ÎOε(b)

x®+¥

" x: x>∆ |f(x)-b |<ε

 

 
 


lim (f (x))=b Û "ε>0 $∆>0: " xÎO(-¥)Þf(x)ÎOε(b)

x®-¥

" x: x<-∆ |f(x)-b |<ε

 

Односторонние пределы.

Определение

f(x) определена в O°+(x0)

lim (f (x))=b Û "ε>0 $d>0: " xÎO°+d(x0)Þf(x)ÎOε(b) x0<x<x0+d

x®x°+0

 

 
 


Определение

f(x) определена в O°-(x0)

lim (f (x))=b Û "ε>0 $d>0: " xÎO°-d(x0)Þf(x)ÎOε(b) x0-d<x<x0d

x®x°-0

 

 

Теорема Пусть f(x) определена в O°(x0) Для того чтобы существо-

вал предел $ lim(f(x))=b Û $ lim(f(x))=lim(f(x))=b

x®x° x®x°+0 x®x°-0

Пусть $ lim(f(x))=b, то есть "ε>0 $d>0: " xÎO°d(x0)Þf(x)ÎOε(b) f(x)ÎOd(b) для " xÎO°+d(x0) и для " xÎO°-d

x®x°

" xÎO°-d(x0)Þ$ lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.

x®x°+0 x®x°-0






Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 1147; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.021 сек.