Бесконечно большие последовательности.
an=2n
$N:"n>N Þ an>ε
bn=(-1)n2n
$N:"n>N Þ |bn|>ε
cn=-2n
$N:"n>N Þcn<-ε
Определение (бесконечно большие последовательности)
1) lim an=+¥, если "ε>0$N:"n>N Þ an>ε где ε- сколь угодно малое.
n®¥
2)lim an=-¥, если "ε>0 $N:"n>N Þ an<-ε
n®+¥
3) lim an=¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |an|>ε
n®+¥
Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.
Доказательство:
an=2n
Берём "ε>0; хотим 2n>ε
n>log2ε
N=[log2ε]+1
Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки " и $, а знак неравенства на дополнительный.
Пример:
Утверждение lim an=a<¥ $aÎR "ε>0 $NÎN:"n>N Þ |an-a|<ε
n®¥
Обратное утверждение "aÎR $ε>0 "NÎN:$ n>N Þ |an-a|<ε
Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.
bn{2;0;2n;0;23;0….}
Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)
Пусть $lim an=a<¥ Þ an - ограниченная
n®+¥
Доказательство:
Дано:
"ε>0$N:"n>N Þ |an-a|<ε
Раз "ε>0 возьмем ε=1 Þ $N:"n>N Þ |an-a|<1
a-1<an<1+a, "n>N
Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.
N1=max{|a1|;|a2|;…|an|;|1+a|;|a-1|}
an£c, "n>N
Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).
Если $lim an=a <¥, то а- единственное.
n®+¥
Доказательство:(от противного)
Предположим, что $ b: lim an=b и b¹a ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a Þ$N1:"n>N1Þ |an-a|<ε
n®+¥
$N2:"n>N2 Þ |an-b|<ε N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно Þ
Þ -(b-a)/2<an-a<(b-a)/2
-(b-a)/2<an-b<(b-a)/2
an-a<(b-a)/2
-
an-b>-(b-a)/2
b-a<b-a
0<0 – противоречие Þ предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2
Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 1618;