Тема: «Асимптотические формулы»

Формулы содержащие символ о - называются асимптотические.

1) lim [sin(x)/x]=1 Û (по определению конечного предела sin(x)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при х®0

^x®0

Û sin(x)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ sin(x)=x+ox, при х®0; sin(x)~x, при х®0

2) lim [ln(1+x)/x]=1 Û (по определению конечного предела ln(1+x)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при

^x®0

х®0 Û ln(1+x)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ ln(1+x)=x+ox, при х®0; ln(1+x)~x, при х®0

3) lim [(e^x-1)/x]=1 Û (по определению конечного предела (e^x-1)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при х®0

^x®0

Û (e^x-1)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ (e^x-1)=x+ox, при х®0; (e^x-1)~x, при х®0; e^x=1+x+o(x), при x®0

4) lim [(1-cos(x)/(x²/2)]=1 Û (по определению конечного предела (1-cos(x)/(x²/2)=1+a(x), где a(х) – бесконечно

^x®0

малое при х®0 Û 1-cos(x)=(x²/2)+a(x)x²/2, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ 1- cos(x)=(x²/2)+ox²; при х®0; 1- cos(x)~x²/2, при х®0; cos=1-x²/2+o(x²), при x®0

1) lim [((1+x)^p-1)/px]=1 Û (по определению конечного предела ((1+x)^p-1)/px =1+a(x), где a(х) – бесконечно

^x®0

малое при х®0 Û (1+x)^p-1=px +a(x)-p, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ (1+x)^p-1=px+ox, при х®0; (1+x)^p-1~px, при х®0;(1+x)^p=1+p(x)+o(x), при x®0

Если f(x)~g(x), при х®х₀ (±¥), то lim[f(x)/g(x)]=1 Û f(x)/g(x)=1+a(x), где a(х)–бесконечно малое при х®х₀ (±¥)

^{х®х0 (±¥)}

Û f(x)=g(x)+a(x)g(x)Þ f(x)=g(x)+og(x) при х®х₀ (±¥)

Замечание: не всякие бесконечно малые, бесконечно большие можно сравнить.

Пример:

a(x)=xsin(1/x), при х®0

a(х)=ф=х, при х®0

a(x)/b(x)=sin(1/x)

lim[a(x)/b(x)]=lim[sin(1/x)] – который в свою очередь не существует.

^{x®0 x®0}

Эти бесконечно малые несравнимы.

Для удобства формул полагают по определению, что о(1)=a(х), при х®х₀ (±¥)

а⁰º1 n!=1·2·3….n o!

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀) и $ lim f(x)=f(x₀): y=f(x) при х®х₀ называется непрерывной в

^х®х_°

точке х₀ (то есть " ε>0 $ d>0: " xÎO_d(x₀) Þ f(x)ÎO_ε(f(x₀))

Непосредственно из определения предела следуют следуемые теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)+g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀) Þ f(x)+g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=f(x)+g(x) что и требовалось доказать

^х®х_°^х®х_° ^х®х_°

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀) Þ f(x)g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=f(x)g(x) что и требовалось доказать

^х®х_°^х®х_° ^х®х_°

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х₀, тогда f(x)/g(x) – непрерывна в точки х₀

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х₀) Þ f(x)/g(x) определена в О(х₀)

2) lim (f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=f(x)/g(x) что и требовалось доказать

^х®х_°^х®х_° ^х®х_°

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки). Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, тогда она ограниченна в некоторой окрестность этой точки.

Доказательство: limf(x)=f(x₀), то есть " ε>0 $ d>0 "x: |x-x₀|<d Þ |f(x)-f(x₀)|<ε . Предполагается, что d выбрано так, что f(x) определена в соответствующих точках. О_d(х₀)ÌО(х₀). Так как это справедливо для любого ε>0, то возьмем ε=1 Þ $d>0 -1<f(x)-f(x₀)<1; "xÎO_d(x₀)ÌO(x₀)Þ f(x₀)-1<f(x)<1+f(x₀)x, то есть В<f(x)<A

"xÎO_d(x₀)ÌO(x₀)

Теорема:(о непрерывности сложной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точки х₀, а z=g(y) непрерывна в точки y₀=f(x₀), тогда сложная функция имеет вид z=g(f(x₀)) – непрерывна в точки х_0.

Доказательство: Зададим " ε>0 в силу непрерывности z=g(y) в точки у₀ $ б>0"x: |y-y₀|<бÞ |g(y)-g(x₀)|<ε

По найденному б>0 в силу непрерывности функции f(x) в точки х₀ $ d>0 "x: |x-x₀|<dÞ |f(x)-f(x₀)|<б

"ε>0 $d>0 "x:|x-x₀|<d |y-y₀|<б Þ |g(y)-g(y₀)|<ε Þ|g(f(x))-g(f(x₀))| то есть lim g(f(x))=g(f(x₀))

^x®x_°

Замечание: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции limf(x)=limg(y) limf(x)=f(x₀)=y₀ ^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°