Тема: «Асимптотические формулы»

 

Формулы содержащие символ о - называются асимптотические.

 

1) lim [sin(x)/x]=1 Û (по определению конечного предела sin(x)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при х®0

x®0

Û sin(x)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ sin(x)=x+ox, при х®0; sin(x)~x, при х®0

2) lim [ln(1+x)/x]=1 Û (по определению конечного предела ln(1+x)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при

x®0

х®0 Û ln(1+x)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ ln(1+x)=x+ox, при х®0; ln(1+x)~x, при х®0

3) lim [(ex-1)/x]=1 Û (по определению конечного предела (ex-1)/x=1+a(x), где a(х) – бесконечно малое при х®0

x®0

Û (ex-1)=x+a(x)x, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ (ex-1)=x+ox, при х®0; (ex-1)~x, при х®0; ex=1+x+o(x), при x®0

4) lim [(1-cos(x)/(x2/2)]=1 Û (по определению конечного предела (1-cos(x)/(x2/2)=1+a(x), где a(х) – бесконечно

x®0

малое при х®0 Û 1-cos(x)=(x2/2)+a(x)x2/2, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ 1- cos(x)=(x2/2)+ox2; при х®0; 1- cos(x)~x2/2, при х®0; cos=1-x2/2+o(x2), при x®0

1) lim [((1+x)p-1)/px]=1 Û (по определению конечного предела ((1+x)p-1)/px =1+a(x), где a(х) – бесконечно

x®0

малое при х®0 Û (1+x)p-1=px +a(x)-p, где a(х) – бесконечно малое при х®0 Þ (1+x)p-1=px+ox, при х®0; (1+x)p-1~px, при х®0;(1+x)p=1+p(x)+o(x), при x®0

Если f(x)~g(x), при х®х0 (±¥), то lim[f(x)/g(x)]=1 Û f(x)/g(x)=1+a(x), где a(х)–бесконечно малое при х®х0 (±¥)

х®х0 (±¥)

Û f(x)=g(x)+a(x)g(x)Þ f(x)=g(x)+og(x) при х®х0 (±¥)

Замечание: не всякие бесконечно малые, бесконечно большие можно сравнить.

Пример:

a(x)=xsin(1/x), при х®0

a(х)=ф=х, при х®0

a(x)/b(x)=sin(1/x)

lim[a(x)/b(x)]=lim[sin(1/x)] – который в свою очередь не существует.

x®0 x®0

Эти бесконечно малые несравнимы.

Для удобства формул полагают по определению, что о(1)=a(х), при х®х0 (±¥)

а0º1 n!=1·2·3….n o!

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х0) и $ lim f(x)=f(x0): y=f(x) при х®х0 называется непрерывной в

х®х°

точке х0 (то есть " ε>0 $ d>0: " xÎOd(x0) Þ f(x)ÎOε(f(x0))

Непосредственно из определения предела следуют следуемые теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)+g(x) – непрерывна в точки х0

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х0) Þ f(x)+g(x) определена в О(х0)

2) lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=f(x)+g(x) что и требовалось доказать

х®х°х®х° х®х°

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)g(x) – непрерывна в точки х0

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х0) Þ f(x)g(x) определена в О(х0)

2) lim (f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=f(x)g(x) что и требовалось доказать

х®х°х®х° х®х°

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)/g(x) – непрерывна в точки х0

Доказательство:1) f(x), g(x) определена в О(х0) Þ f(x)/g(x) определена в О(х0)

2) lim (f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=f(x)/g(x) что и требовалось доказать

х®х°х®х° х®х°

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки). Пусть y=f(x) непрерывна в точки х0, тогда она ограниченна в некоторой окрестность этой точки.

Доказательство: limf(x)=f(x0), то есть " ε>0 $ d>0 "x: |x-x0|<d Þ |f(x)-f(x0)|<ε . Предполагается, что d выбрано так, что f(x) определена в соответствующих точках. Оd0)ÌО(х0). Так как это справедливо для любого ε>0, то возьмем ε=1 Þ $d>0 -1<f(x)-f(x0)<1; "xÎOd(x0)ÌO(x0)Þ f(x0)-1<f(x)<1+f(x0)x, то есть В<f(x)<A

"xÎOd(x0)ÌO(x0)

Теорема:(о непрерывности сложной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точки х0, а z=g(y) непрерывна в точки y0=f(x0), тогда сложная функция имеет вид z=g(f(x0)) – непрерывна в точки х0.

Доказательство: Зададим " ε>0 в силу непрерывности z=g(y) в точки у0 $ б>0"x: |y-y0|<бÞ |g(y)-g(x0)|<ε

По найденному б>0 в силу непрерывности функции f(x) в точки х0 $ d>0 "x: |x-x0|<dÞ |f(x)-f(x0)|<б

"ε>0 $d>0 "x:|x-x0|<d |y-y0|<б Þ |g(y)-g(y0)|<ε Þ|g(f(x))-g(f(x0))| то есть lim g(f(x))=g(f(x0))

x®x°

Замечание: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции limf(x)=limg(y) limf(x)=f(x0)=y0 x®x° x®x° x®x°






Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 3805; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.019 сек.