Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства

Определение 1. Если каждому значению n из множества натуральных чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число , то множество занумерованных действительных чисел называется числовой последовательностью .

– члены последовательности, – сокращенная запись последовательности. Например, .

Определение 2. Пусть даны две последовательности и . Последовательности называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и .

Определение 3. Последовательность называется ограниченной, если множество ее членов ограничено, т.е. существует число , такое, что . Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М, такое, что .

Если последовательность неограниченна, то для любого числа найдется номер n такой, что . Ясно, что если последовательность ограничена только снизу или только сверху, то она неограниченна. Среди неограниченных последовательностей выберем бесконечно большие последовательности.

Определение 4. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдется номер N, такой, что для всех .

Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, но не всякая неограниченная последовательность бесконечно большая. Примером этого может служить последовательность .

Определение 5. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого найдется номер N, такой, что для всех .

Установим основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Возьмем произвольно и положим . По определению 5 для найдутся номера и , такие, что для всех и для всех . Положим . Тогда для всех и по определению 5 последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Аналогично доказываются

Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

(Можно поручить студентам доказать теоремы 2, 3 и следствие самостоятельно).

Теорема 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть – бесконечно малая последовательность. Положим . По определению 5 найдется номер N, такой, что для всех . Обозначим . Тогда для всех n. Теорема доказана.

Следствие теорем 3 и 4. Произведение двух (любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5. Если все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то .

Доказательство. Предположим противное, т.е. что . Возьмем . По определению 5 найдется номер N, такой, что для всех , т.е. для всех , а этого не может быть, так как для всех n. Противоречие доказывает утверждение теоремы.

Теорема 6. Если – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольно и положим . Тогда по определению 4 найдется номер N, такой, что для всех значений . Отсюда для всех , т.е. – бесконечно малая последовательность по определению 5. Теорема доказана.

Теорема 7. Если – бесконечно малая последовательность и все члены этой последовательности отличны от нуля, то последовательность – бесконечно большая (доказать самостоятельно).