Малі коливання механічної системи з декількома ступенями вільності

Тут досліджуються малі коливання механічних систем, на які накладені голономні ідеальні та стаціонарні в’язі. Розглянемо систему з двома ступенями вільності. Узагальнені координати - q₁ і q₂. Кінетична енергія системи дорівнює

(19.11)

Величини а₁₁, а₁₂, а₂₂ називають інерційними коефіцієнтами. Рівняння Лагранжа другого роду мають вигляд

(19.12)

З урахуванням (19.11) рівняння (19.12) перепишемо так:

(19.13)

Частинний розв’язок рівнянь (19.13) шукаємо у вигляді:

(19.14)

де В, D, α - невідомі сталі. Для їх визначення знаходимо похідні від (19.14), скориставшись рівняннями (19.13), і одержимо

(19.15)

Система рівнянь має відмінні від нуля розв’язки, якщо детермінант системи буде рівний нулю:

(19.16)

З рівнянь (19.15) знаходимо відношення амплітуд

(19.17)

З виразів (19.16) або (19.17) знайдемо рівняння частот (по іншому його називають віковим рівнянням):

(19.18)

Досліджувані рухи будуть малими, рівновага буде стійкою, якщо корені цього рівняння будуть додатними:

Якщо чи від’ємні або є комплексними величинами, то розв’язки (19.14) включають гіперболічні функції і рух навколо положення рівноваги не буде малим. Корені і будуть додатними тоді, коли виконуються нерівності

Після того, як корені рівняння частот k₁ і k₂ обчислені, знаходимо головні коливання системи. Перше головне коливання описується рівняннями

(19.19)

Друге головне коливання описується рівняннями

(19.20)

Загальний розв’язок

(19.21)

Відношення амплітуд дорівнює

(19.22)

Тоді

(19.23)

Довільні сталі інтегрування D₁, D₂, α₁, α₂ визначаються з початкових умов. При розв’язанні задач на дослідження малих коливань консервативної системи з двома ступенями вільності рекомендується такий порядок дій:

1) вибрати узагальнені координати q₁ і q₂;

2) обчислити кінетичну енергію системи Т;

3) обчислити потенціальну енергію системи П або узагальнені сили;

4) знайти похідні від кінетичної енергії і скласти рівняння Лагранжа другого роду;

5) задати частинний розв’язок і підставити його в систему диференціальних рівнянь руху;

6) з одержаної в пункті 5) системи алгебраїчних рівнянь визначити амплітуди коливань і знайти рівняння частот;

7) розв’язати рівняння частот, знайти власні частоти коливань системи;

8) внести знайдені частоти в частинний розв’язок і одержати формули, які описують два головних коливання;

9) додавши рівняння головних коливань для кожної узагальненої координати, знайти загальний розв’язок;

10) з початкових умов знайти чотири довільні сталі інтегрування.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §19 (пунктів 19.1 – 19.3) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 53.2, 53.4, 53.5, 54.1 - 54.5, 55.1 - 55.5, 55.7;

2) № 48.10, 48.19, 48.20, 48.35 - 48.37, 48.39, 53.6, 53.12 - 53.14, 54.10, 54.12, 54.20, 54.22, 54.32, 54.35, 55.9, 55.12, 55.15 – 55.17, 55.25;

3) № 53.15 - 53.18, 54.37 - 54.39, 54.40, 54.42, 54.48, 55.28, 55.36, 55.41, 55.44.

Рекомендується розв’язати також задачі № 14.5, 14.7, 14.15, 14.17, 14.28, 14.31, 14.38, 14.61, 14.63, 14.65, 14.75, 14.78, 14.82, 14.89 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.

Питання для самоконтролю

1. Що називають рівновагою механічної системи?

2. Як поділяють рівновагу системи залежно від системи відліку?

3. Яка достатня умова рівноваги системи?

4. Коли рівновага системи буде стійкою, нестійкою та байдужою?

5. Яка енергетична ознака цих видів рівноваги?

6. За яких умов використовуються теорема Лагранжа – Діріхле або теорема Ляпунова?

7. Сформулюйте теорему Лагранжа – Діріхле і доведіть її.

8. Який висновок можна зробити на основі теореми Лагранжа – Діріхле з урахуванням критерію Сільвестра?

9. Яким є критерій стійкості для системи з одним ступенем вільності?

10. За яких умов рівновага системи буде стійкою або нестійкою?

11. Сформулюйте план розв’язання задач на стійкість рівноваги системи з одним ступенем вільності.

12. Яку механічну систему називають системою з одним ступенем вільності?

13. Як описується рух в просторі системи з одним ступенем вільності?

14. Яке положення приймають за нульовий рівень потенціальної енергії?

15. Яке припущення стосовно узагальненої координати і узагальненої швидкості роблять при складанні диференціального рівняння малих рухів системи?

16. Запишіть формулу кінетичної енергії для консервативної системи з одним ступенем вільності, на яку накладені стаціонарні в’язі, через узагальнений коефіцієнт енергії.

17. Яке рівняння називають диференціальним рівнянням малих коливань навколо положення стійкої рівноваги системи?

18. Сформулюйте порядок розв’язання задач на коливання системи з одним ступенем вільності.

19. Які механічні системи розглядають при дослідженні малих коливань систем з декількома ступенями вільності?

20. Які рівняння використовують для дослідження малих коливань систем?

21. Які величини називають інерційними коефіцієнтами?

22. Покажіть методику розв’язання задачі на дослідження малих коливань механічної системи з двома ступенями вільності.

23. Який вигляд має рівняння частот?

24. За якої умови досліджувані рухи системи будуть малими, а рівновага стійкою і навпаки?

25. Запишіть рівняння головних коливань механічної системи.

26. Як визначаються сталі інтегрування в загальному розв’язанні рівнянь малих коливань механічної системи з двома ступенями вільності?

Стійкість руху

Стійкість руху - поняття, яке характеризує тривале (довгочасне) зберігання будь-яких характеристик руху системи. Проблема стійкості руху виникає при вивченні гіроскопічних систем, систем автоматичного регулювання (наприклад, слідкуючих систем), коливних рухів, при дослідженні рухів літаків, ракет і т. д.. Ж.- Л. Лагранж вважав, що механічна система знаходиться в рівновазі, якщо під час руху відстані між її точками залишаються скінченними. Відомі визначення стійкості руху, які давали С.- Д. Пуассон, П.- С. Лаплас, М. Є. Жуковський та ін. Найбільш загальним і важливим за своїм застосуванням є визначення, яке дав стійкості руху О. М. Ляпунов. Рух будь-якої механічної системи можна обчислити теоретично, знаючи діючі на неї сили і початкові умови. Рух, який система згідно цих обчислень повинна здійснювати по Ляпунову, називається незбуреним рухом. Але практично система зазнає випадкових впливів, які не були враховані при обчисленнях. Якими б малими і короткочасними не були б ці впливи, вони приведуть до того, що в деякий момент t=t₀ координати і швидкості точок системи одержать малі, але нерівні нулю прирости, які Ляпунов називає початковими збуреннями. Подальший рух називається збуреним рухом. Якщо при малих збуреннях деякі з характеристик руху в збуреному русі мало відрізняються від тих значень, які були в незбуреному русі, то по Ляпунову незбурений рух є стійким по відношенню до цих характеристик руху. Якщо при малих діях (збуреннях) значення розглядуваної характеристики буде в збуреному русі з часом все більше відхилятись від її значення в незбуреному русі, то незбурений рух є по відношенню до даної характеристики нестійким. Умови, при яких розглядуваний рух є стійким, називаються умовами (критеріями) стійкості.

В якості прикладу розглянемо рух симетричного вертикального гіроскопа (рис. 19.1).

Теоретично його вісь повинна залишатись вертикальною при будь-якій кутовій швидкості . Однак фактично, коли ( - критична кутова швидкість), будь-яке збурення (поштовх) приводить до все зростаючого відхилення від вертикалі; якщо ω>ω_кp, то малі збурення практично не позначаються на напрямі осі. Отже, при ω<ω_кp гіроскоп по відношенню до напряму його осі буде нестійким, а при ω>ω_кp – стійким. Це і є умовою стійкості. При цьому

(19.24)

Рис. 19. 1.

де Р - вага гіроскопа, a – відстань від точки О до центра ваги С, І_x і І_y - моменти інерції гіроскопа відносно осей Ох і Оу відповідно. Іншим буде результат, якщо розглянути рух гіроскопа по відношенню до кута обертання φ навколо осі Oz. В незбуреному русі при відсутності тертя (опору) кут повороту φ=ωt. Якщо внаслідок поштовху кутова швидкість зміниться на величину ε, то в збуреному русі φ₁=(ω+ε)t. Різниця Δφ=φ₁ - φ= =εt не залежить від ω і з часом нескінченно зростає; тоді по відношенню до кута повороту φ рух гіроскопа буде нестійким при будь-яких значеннях кутової швидкості ω. Таким чином, один і той же рух по відношенню до одних з його характеристик може бути стійким, а по відношенню до інших - нестійким.

Дослідження положень відносної рівноваги.

Часто при дослідженні різних механізмів потрібно знайти положення відносної рівноваги і стійкість. Для цього складають так звану змінену потенціальну енергію системи W:

W=П+T, (19.25)

де П - потенціальна енергія, Т - кінетична енергія системи. Стан рівноваги (положення рівноваги) визначається з рівняння

(19.26)

Положення рівноваги буде стійким при

>0. (19.27)

При <0 (19.28)

положення рівноваги є нестійким.

Дослідження стійкості руху по першому наближенню.

Метод визначення стійкості руху по першому наближенню полягає в наступному. Нехай

(19.29)

є частинними розв’язками системи диференціальних рівнянь першого порядку

(19.30)

при заданих початкових умовах руху

при t₀=0. (19.31)

Розв’язок (19.29) визначає незбурений рух системи. При інших початкових умовах руху значення змінних у_k, які визначають подальший рух системи, записують так:

(19.32)

Віднімемо від (19.32) рівняння (19.30) і знайдемо

(19.33)

Введемо позначення:

(19.34)

Одержимо систему диференціальних рівнянь

(19.35)

З (19.34) виходить, що

x_k(0, 0,...,0; t)=0 (19.36)

(х₁ = х₂=...= х_n = 0) (19.37)

є частинним розв’язком системи (19.35), який відповідає незбуреному рухові.

Для розгляду стійкості руху по першому наближенню в системі рівнянь (19.35) в правій частині виділяють лінійні складові (доданки). Коли час явно не входить в праву частину рівняння, будемо мати

(19.38)

Запишемо характеристичне рівняння системи (19.38):

(19.39)

Згідно першої теореми Ляпунова, незбурений рух, який визначається рівнянням (19.29), є стійким, коли корені характеристичного рівняння (19.39) мають від’ємну дійсну частину. В цьому випадку нелінійні доданки в правій частині рівнянь (19.38) не впливають на стійкість руху. Про знак кореня характеристичного рівняння можна судити на основі теореми Гурвіца, яка формулюється так: рівняння n-го степеня з дійсними коефіцієнтами (а₀>0)

(19.40)

має всі корені з від’ємною дійсною частиною, коли всі визначники вигляду

є додатними.

При розв’язуванні задач на дослідження стійкості руху системи по першому наближенню рекомендується такий порядок дій:

1) визначаємо число ступенів вільності системи і вибираємо узагальнені координати;

2) користуючись рівнянням Лагранжа, складаємо рівняння незбуреного руху;

3) складаємо рівняння збуреного руху, вважаючи, що узагальнені координати відрізняються від значень в незбуреному русі на величини першого порядку малості;

4) віднімаємо від диференціальних рівнянь збуреного руху відповідні рівняння незбуреного руху;

5) для системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами складаємо характеристичне рівняння;

6) користуючись теоремою Гурвіца, визначаємо знаки дійсних частин коренів характеристичного рівняння і потім робимо висновок про стійкість руху системи.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §19 (пункт 19.4) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 56.1 - 56.5;

2) № 56.7 – 56.15;

3) № 56.17 - 56.20.

Рекомендується розв’язати також задачі № 18.6, 18.7, 18.10, 18.12, 18.15, 18.19, 18.20, 18.24, 18.26, 18.27, 18.32 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.

Питання для самоконтролю

1. Що таке стійкість руху?

2. Яке визначення рівноваги механічної системи дав Ж. – Л. Лагранж?

3. Який рух механічної системи називається незбуреним (по О. М. Ляпунову)?

4. Що О. М. Ляпунов називає „початковим збуренням”?

5. Який рух називається збуреним?

6. Сформулюйте критерії стійкості руху механічної системи по Ляпунову.

7. Що називається критеріями або умовами стійкості?

8. Як визначається критична кутова швидкість обертання вертикального симетричного гіроскопа?

9. Як стійкість руху залежить від вибраних характеристик руху тіла або механічної системи?

10. Що називають зміненою потенціальною енергією системи?

11. З якого рівняння і як визначається положення відносної рівноваги?

12. В чому полягає метод визначення стійкості руху по першому наближенню?

13. Який частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь відповідає незбуреному рухові?

14. Коли, згідно першої теореми Ляпунова, незбурений рух системи є стійким?

15. Сформулюйте теорему Гурвіца.

16. Який порядок дій при розв’язуванні задач на дослідження стійкості руху системи по першому наближенню?

Теорія удару