Прямий центральний удар двох тіл

Удар двох тіл, при якому спільна нормаль до поверхонь тіл в точці дотику проходить через їх центри мас, а швидкості центрів мас тіл на початку удару направлені по цій спільній нормалі, називається прямим центральним ударом.

Розглянемо прямий центральний удар двох тіл з масами m₁ і m₂, що рухаються поступально (рис. 20.3).

Позначимо швидкості центрів мас тіл до удару через (рис. 20.3, а), а в кінці удару - через (рис. 20.3, б).

Якщо друге тіло знаходиться попереду першого і , то перше тіло доганяє друге тіло і відбувається удар.

Задача про прямий центральний удар двох тіл полягає в тому, щоб, знаючи маси тіл, швидкості центрів мас тіл на початку удару і коефіцієнт відновлення, визначити, по-перше, швидкості центрів мас тіл в кінці удару і, по-друге, ударний імпульс. Для розв’язання цієї задачі застосовуємо теорему про зміну кількості руху системи двох тіл:

(20.24)

Рис. 20. 3.

Проектуючи обидві частини цього векторного рівняння на вісь С₁x, одержимо

(20.25)

В цьому рівнянні дві невідомі величини: і . Коефіцієнт відновлення при прямому центральному ударі визначається як відношення модулів відносних швидкостей тіл в кінці і на початку удару:

(20.26)

де і .

Розв’язуючи систему рівнянь (20.25) і (20.26), одержимо

(20.27)

Для визначення ударних імпульсів і ( ) скористаємось теоремою про зміну кількості руху тільки для одного з тіл:

(20.28)

звідки

. (20.29)

Якщо друге тіло до удару було нерухомим, то v_2x=0 і

(20.30)

Якщо тіло ударяється об нерухому поверхню, то v_2x=0, m₂=∞ і

Розглянемо окремі випадки:

1) абсолютно непружний удар (k=0). В цьому випадку

(20.31)

Отже, після непружного прямого центрального удару тіла починають рухатись разом, як одне ціле. Ударні імпульси дорівнюють

(20.32)

2) абсолютно пружний удар (k=1). В цьому випадку

(20.33)

(20.34)

Якщо, m₁=m₂=m, то за цими формулами a тобто при абсолютно пружному ударі тіла однакових мас обмінюються швидкостями.

Якщо, маса тіла 2 така велика, що можна знехтувати відношенням m₁/m₂ порівняно з одиницею, а швидкість другого тіла до удару v_2x=0, то

(20.35)

Отже, внаслідок удару тіло малої маси m₁ втратить дуже малу частину своєї швидкості і відскочить від нерухомого тіла великої маси m₂ зі швидкістю , що близька до швидкості до удару. Важке нерухоме тіло масою m₂ одержить дуже малу швидкість, близьку до нуля.

Цим можна пояснити, чому в атомних реакторах в якості сповільнювачів використовують речовини з малою атомною вагою (графіт, важка вода). При сповільненні швидких нейтронів треба “проскочити” небезпечну “резонансну” швидкість нейтронів, при якій вони сильно поглинаються, вибуваючи з реакції. Це неможливо зробити, коли сповільнювачами є елементи з важкими ядрами, бо тоді сповільнення нейтронів відбувається дуже малими порціями і резонансна швидкість буде обов’язково досягнена, а не “проскочена”.