Невiльна матерiальна точка. Основне рiвняння динамiки

Невiльною називається така матерiальна точка, на рух якої накладенi обмеження. Цi обмеження не залежать вiд початкових умов руху та системи прикладених активних сил i називаються в’язями.

Невiльною точкою, наприклад, є матерiальна точка, що рухається по нерухомiй поверхнi або по нерухомiй кривiй. Рiвняння цiєї поверхнi або кривої називається рiвнянням в’язi.

Будемо вважати в’язь iдеально гладенькою (iдеальною) або в’яззю без тертя. Тодi сила реакцiї цiєї в’язi направлена по нормалi до поверхнi або кривої i називається нормальною силою реакцiї в’язi . Якщо поверхня або крива є шершавими, то сила реакцiї буде направлена пiд деяким кутом до нормалi до поверхнi або кривої. В цьому випадку реакцiя називається повною силою реакцiї . При цьому

, (7.1)

де - динамiчна сила тертя, направлена у бік, протилежний вектору швидкостi матерiальної точки. Згiдно закону Кулона

= μN , (7.2)

де - одиничний вектор дотичної до траєкторiї точки, μ - коефiцiєнт тертя при русi, N - модуль нормальної сили реакцiї.

Дослiдження руху невiльної матерiальної точки будується на аксiомi в’язей, яку використовували в статицi. При цьому невiльна матерiальна точка розглядається як вiльна, що рухається пiд дiєю активних сил i сил реакцiй в’язей.

Нехай матерiальна точка маси m рухається по заданiй шершавiй в’язi пiд дiєю рiвнодiйної прикладених сил . В’язь замiнимо силою реакцiї в’язi , тодi дану матерiальну точку можна розглядати як вiльну, що рухається пiд дiєю сил i . Основне рiвняння динамiки запишеться так:

m = + , m = + + . (7.3)

Цi рiвняння виражають основний закон динамiки невiльної матерiальної точки в векторнiй формi.

Для iдеально гладенької поверхнi F_тер = 0 i рiвняння (7.3) набуває вигляду:

m = + . (7.4)

Рiвняння (7.3) i (7.4) дозволяють розв’язувати таку основну задачу динамiки невiльної матерiальної точки: знаючи масу матерiальної точки, дiючi на неї активнi сили i рiвняння в’язi, по якiй рухається точка, визначити: а) закон руху точки по заданiй в’язi i б) динамiчну реакцiю накладеної в’язi, тобто реакцiю, що виникає при русi матерiальної точки.