Метод поетапного iнтегрування

Розглянемо цей метод на такому прикладi.

Приклад. На рис. 6.2,a показано тягар А, який може рухатись пiд дiєю двох пружин в прямолiнiйних направляючих. Пружини до тягаря не прикрiпленi. Коефiцiєнти жорсткостi пружин вiдповiдно дорiвнюють с₁ i c₂. В початковий момент часу тягар знаходився в крайньому правому положеннi i був вiдпущений без початкової швидкостi.

В положеннi рiвноваги пружини не напруженi.

Знайти рiвняння руху тягаря i перiод його вiльних коливань за умови, що сили пружностi пружин описуються законом Гука.

Розв’язання. В положеннi рiвноваги пружини не напруженi i до тягаря не прикрiпленi. При русi тягаря направо вiд нуля до нього прикладена сила пружностi правої пружини, а при русi налiво вiд нуля - лiвої пружини. Характеристика сили пружностi складається з двох прямолiнiйних вiдрiзкiв (рис. 6.2, б).

Перiод коливань складається з чотирьох етапiв:

1) пiд дiєю правої пружини з крайнього правого положення в нульове;

2) пiд дiєю лiвої пружини з нульового положення в крайнє лiве;

3) пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове;

4) пiд дiєю правої пружини з нульового в крайнє праве положення.

Розглянемо рух тягаря на першому етапi з крайнього правого положення в нульове. Рух описується диференцiальним рiвнянням

m = - c₁х,

тобто

+k₁²x = 0, (6.6)

де

k₁² = c₁/m.

Загальний розв’язок лiнiйного рiвняння (6.6) має вигляд:

х = C₁cos(k₁t)+C₂sin(k₁t). (6.7)

Знаходимо похiдну за часом:

=- C₁k₁sin(k₁t) + C₂k₁cos(k₁t). (6.8)

Згiдно початкових умов при t₀ = 0 x = x₀; = 0. Пiдставляємо їх в рiвняння (6.7) i (6.8), знаходимо C₁ = x₀, C₂= 0.

Значить

x = x₀cos(k₁t); (6.9)

= - x₀k₁sin(k₁t).

Рух тягаря на цьому етапi вiдбувається протягом часу

0≤t τ₁,

де τ₁ - момент часу, коли тягар приходить в нульове положення. При цьому

0 = x₀cos(k₁ τ₁);

(τ₁) = - k₁x₀sin(k₁ τ₁). (6.10)

З першого з цих рiвнянь знаходимо

k₁ τ₁ = π/2,

τ₁ = ( π/2 )/k₁. (6.11)

Отже початковими умовами для другого етапу є

х = х(τ₁) = 0;

= (τ₁) = - k₁x₀. (6.12)

Рух на цьому етапi описується диференцiальним рiвнянням

m = - c₂х,

тобто

+k₂²x = 0, (6.13)

де позначено k₂² = c₂/m.

Загальний розв’язок рiвняння (6.13) має вигляд:

x = C₃cos(k₂t) + C₄sin(k₂t). (6.14)

Знаходимо похiдну за часом

=- C₃k₂sin(k₂t) + C₄k₂cos(k₂t). (6.15)

Пiдставимо в (6.14) i (6.15) початковi умови (6.12) i знайдемо C₃ = 0, C₄ = - (k₁/k₂)x₀. В цьому разi рiвняння (6.14) записується так:

x = - (k₁/k₂)x₀sin(k₂t). (6.16)

Рiвняння (6.16) описує рух на другому етапi пiд дiєю лiвої частини пружини з нульового положення в крайнє лiве. Цей рух здiйснюється на протязi часу 0≤t τ₂.

На другому етапi швидкiсть тягаря дорiвнює

При t = τ₂ маємо

х = х(τ₂); = (τ₂)= 0

i

x(τ₂) = - (k₁/k₂)x₀sin(k₂τ₂);

0 = - k₁x₀cos(k₂τ₂). (6.17)

З другого рiвняння (6.11) знаходимо

k₂τ₂ = π/2, тобто τ₂ =( π/2 )/k₂. (6.18)

Пiдставляючи значення τ₂ в перше рiвняння (6.17), визначаємо

x(τ₂) = - ( k₁/k₂)x₀. (6.19)

Можна сказати, що в момент τ₂ тягар знаходиться в крайньому лiвому положеннi i його координата та швидкiсть дорiвнюють

(6.20)

Формули (6.20) є початковими умовами руху тягаря на третьому етапi пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове.

На наступних етапах тягар повторить дослiдженi уже рухи: третьому етапу руху тягаря вiдповiдає рiвняння руху, яке описується рiвнiстю (6.13), а четвертому етапу – рівняння руху, яке описується рiвнiстю (6.6). Шуканий перiод Т вiльних коливань тягаря дорiвнює 2(τ₁+τ₂):

T = π(k₁+k₂)/ k₁k₂, (6.21)

де