Основна задача динамiки вiдносного руху матерiальної точки

Рух матерiальної точки по вiдношенню до iнерцiальної системи вiдлiку, тобто такої системи, для якої справедливi основнi закони динамiки Ньютона, називається абсолютним.

Розглянемо рух матеріальної точки маси m по відношенню до неінерціальної системи відліку Оxyz, тобто до системи, яка рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку О₁x₁y₁z₁ (рис. 8.1).

Рух точки М вiдносно неiнерцiальної системи вiдлiку називається вiдносним.

Основна задача динамiки вiдносного руху матерiальної точки формулюється так. Нехай система вiдлiку Oxyz рухається вiдносно нерухомої системи O₁x₁y₁z₁ за вiдомим законом, тобто для будь-якого моменту часу нам вiдомi прискорення а_пер = а_o точки O, а також переносна кутова швидкiсть ω_пер i переносне кутове прискорення ε_пер системи вiдлiку Oxyz вiдносно системи вiдлiку O₁x₁y₁z₁. Знаючи сили, якi дiють на точку М, а також початковi умови руху точки М i системи вiдлiку Oxyz, потрiбно знайти закон вiдносного руху точки М.

Рис. 8. 1.

Для розв’язання цiєї задачi треба спочатку скласти диференцiальне рiвняння вiдносного руху точки М, а потiм, проiнтегрувавши це рiвняння, знайти закон вiдносного руху точки.

За другим законом Ньютона для руху точки вiдносно iнерцiальної системи вiдлiку

m = + , (8.1)

де - абсолютне прискорення точки М, - рiвнодiйна активних сил, дiючих на точку М, - реакцiя в’язi.

Абсолютне прискорення точки за теоремою Корiолiса :

, (8.2)

де a_від, a_пер, a_кор - вiдносне, переносне i корiолiсове (поворотне) прискорення точки М вiдповiдно.

Пiдставимо в рiвняння (8.1) значення прискорення з (8.2) i одержимо

m = + +(- m )+(- m ). (8.3)

Сила, рiвна добутку маси рухомої точки та її переносного прискорення i направлена протилежнo цьому прискоренню, називається переносною силою iнерцiї :

= - m . (8.4)

Сила, рiвна добутку маси рухомої матерiальної точки та її корiолiсового прискорення i направлена протилежно цьому прискоренню, називається корiолiсовою або поворотною силою iнерцiї :

= - m . (8.5)

Рiвняння (8.3) можна переписати так:

m = + + + . (8.6)

Це рiвняння є основним законом динамiки в векторнiй формi для вiдносного руху невiльної матерiальної точки. В загальному випадку

= + ´( ´ )+ ´ ; (8.7)

= 2( ´ ), (8.8)

де - радiус-вектор, що визначає положення матерiальної точки М вiдносно початку O рухомої системи Oxyz.

Порiвнюючи рiвняння (8.6) i (8.1), приходимо до такого висновку: основне рiвняння динамiки вiдносного руху матерiальної точки можна скласти так, як i основне рiвняння динамiки абсолютного руху точки (8.1), якщо тiльки до дiючих на точку сил i додати переносну i корiолiсову сили iнерцiї і .

В проекцiях на осi системи вiдлiку Oxyz маємо

= , = , = ;

(8.9)

.

Аналогiчно можна одержати рiвняння вiдносного руху точки в проекцiях на осi натурального тригранника.

Розглянемо вiдносний спокiй тiла поблизу Землi. На пiдвiшений до нитки тягар дiють двi сили: сила притягання тiла Землею i сила натягу нитки . Сила направлена по радiусу до центра земної кулi i, згiдно закону всесвiтнього тяжiння, дорівнює

Завдяки добовому обертанню Землi пiдвiшений до нитки тягар перебуває в рiвномiрному русi по колу радiуса r = R_зcosφ i, отже, на тягар дiє доцентрова сила mω²r, яка направлена до центра С кола добового обертання.

У даному разi доцентрова сила mω²r є геометричною сумою сил i (рис. 8.2).

Рис. 8. 2.

Лiнiя, вздовж якої розмiщується висок (нитка з тягарем), називається вертикаллю.

Вертикаль утворює з площиною екватора кут θ, який називається географiчною широтою того мiсця, де пiдвiшений тягар ( див. рис. 8.2).

Основне рiвняння вiдносного спокою одержимо з рiвняння (8.6), якщо в ньому прийняти

v_від = 0; a_від = 0; = - m·2( ´ )= 0,

що дає

+ + = 0. (8.10)

З рівняння (8.10) бачимо, що вiдносний рух iснує тодi, коли прикладенi сили i зрiвноваженi переносною силою iнерцiї .

Отже, у випадку вiдносного спокою матерiальної точки геометрична сума трьох сил - активної , пасивної i переносної сили iнерцiї - дорiвнює нулю.

Вага тiла

Формула сили ваги: = m . Вагу тiла можна вимiрювати на пружинних терезах. Це вимiрювання визначає, однак, не силу притягання тiла до Землi, а лише ту частину цiєї сили , яка проявляється статично, бо зважування на терезах не дає змоги виявити другу частину сили , яка проявляється в переносному прискореннi ω²r тiла, зумовленому добовим обертанням тiла разом із Землею.

Вага тiла, згiдно з її означенням, дорiвнює (рис. 8.3):

= - m . (8.11)

На полюсi доцентрова сила дорiвнює нулю i сила ваги дорiвнює силi притягання , тобто = . Вага тiла на екваторi найменша i дорiвнює Р = F- mω²R_з. За другим законом Ньютона = m , де - абсолютне прискорення тiла.

Значить

= m - m = m( - ) = m , (8.12)

де позначено

= - . (8.13)

Абсолютне прискорення ₀ можна визначити з рiвностi

γ(mM/R₃²)·( ₃/R₃) = m , (8.14)

де ₃/R₃ - одиничний вектор, напрямлений вiд тiла М до центра Землi;

= γ(M/R₃²)·( ₃/R₃). (8.15)

Рис. 8. 3.

Значить

g² = (g₀ - )² = g₀² - 2 g₀ + .

Оскiльки = ω²R₃cosφ, то

Нехтуючи пiд радикалом останнiм доданком, що має множником ω⁴, i добуваючи наближено квадратний корiнь, матимемо:

g = g₀ -ω²R₃cos²φ. (8.16)

Для полюса φ = π/2, g₀ = 983см/с²; ω²R₃≈3см/с², а тому формулу (8.16) можна записати так:

g = (983 -3cos²φ) см/с².

Однак справжнi вимiрювання показують, що

g = (983 -5,2cоs²φ) см/с².

На практицi користуються середнiм значенням g = 981 см/с². У зв’язку з впровадженням мiжнародної системи одиниць СI введено так зване нормальне значення g, яке позначають g_н; за означенням приймають g_н= 9,80665 м/с².