A. Узагальнені координати і узагальнені швидкості та прискорення

При розв'язнні задач динаміки невільних систем з'являються деякі ускладнення. При зменшенні числа ступенів вільності, тобто при спрощенні руху системи, задача з погляду математики не спрощується, а навпаки, ускладнюється: збільшується кількість невідомих величин, що підлягають визначенню, і кількість розв'язувальних рівнянь. Крім того, навіть при ідеальних в'язях не вдалося відокремити пряму задачу динаміки від оберненої (знаходження невідомих сил – реакцій в'язей).

Детальний аналіз цих ускладнень привів до висновку, що для їх усунення суттєвим є вибір сукупності параметрів, які визначають положення системи у просторі.

До тепер положення точок описувалося декартовими координатами. Але існують і інші системи координат, які дозволяють для деяких видів руху системи більш просто описати положення її точок. Наприклад, при русі рідини у круглій трубі зручно використовувати циліндричні координати. При цьому положення частинки рідини М визначається кутом , відстанню і координатою (рис.3.9); , , - циліндричні координати точки М. Якщо покласти , то пряма, паралельна осі , опише навколо осі циліндричну поверхню.

Між декартовими координатами і циліндричними можна знайти залежність

. (а)

рис.3.9	pиc.3.10

У деяких випадках, як, наприклад, при розповсюдженні хвиль, застосовують сферичні координати. Положення точки у сферичних координатах визначається відстанню і кутами і (рис.3.10). Між сферичними координатами і координатами Декарта існує залежність

. (b)

Розглянемо невільну матеріальну точку, що рухається по поверхні. Рівняння поверхні (в’язі)

Точка М має два ступені вільності N = 2. Але для вивчення руху точки М потрібно скласти три рівняння при наявності трьох невідомих величин: дві координати та модуль реакції, направленої по нормалі до поверхні.

Лагранж показав, що у випадку, коли на тіло накладено геометричні в’язі, можна вибрати систему таких недекартових координат, названих ним узагальненими координатами, котрі дозволяють розділити задачу про рух невільних точок і систем на дві окремі: спочатку визначити закон руху, потім за відомим законом руху визначити реакції в’язей.

Взагалі, узагальненими координатами називається система параметрів, які однозначно визначають положення всіх точок системи у кожен момент часу.

Наприклад, положення точки М можуть визначити дві незалежні координати що називаються координатами Гауса, котрі і будуть узагальненими координатами. Параметричними рівняннями руху будуть

; ; . (c)

Узагальнюючи викладене, можна стверджувати, що положення системи, складеної із матеріальних точок, яка має N ступенів вільності, визначають N узагальнених координат . Як видно, число узагальнених координат рівне числу ступенів вільності системи.

Якщо положення точок системи визначається N узагальненими координатами, то між ними та декартовими координатами повинен існувати зв’язок. Декартові координати завжди можна однозначно виразити через узагальнені:

(3.8)

Рівняння (3.8) – параметричні рівняння в’язей, накладених на точки системи, із параметрами q_j . Дійсно, якщо система невільна, то .

Виберемо N рівнянь із системи (3.8) і вирішимо відносно узагальнених координат . При цьому знайдемо q_j як функції декартових координат точок системи x_i, y_i, z_i та часу t. Підставляючи q_j у інші 3n – N рівнянь системи (11.3), отримаємо k = 3n – N рівнянь, що пов’язують декартові координати x_i, y_i, z_i та час t, тобто рівняння вигляду

(3.9)

що визначають нестаціонарні в’язі.

Введення узагальнених координат автоматично задовольняє тим умовам, що накладають в’язі на рух точок системи.

Систему трьох скалярних залежностей (3.8) можна замінити одною векторною залежністю

(3.10)

Час t у рівняннях (3.8) та (3.10) входить у тому випадку, коли в’язь нестаціонарна.

рис.3.11	рис.3.12

В якості прикладу розглянемо кривошипно-шатунний механізм (рис.3.11). Ведучий ланцюг – кривошип обертається навколо осі , перпендикулярної до площини розташування механізму. Кривошип з’єднаний шарнірно в точці з шатуном і приводить його до руху. Точка (повзун) рухається прямолінійно. Розташування всіх ланцюгів механізму буде відоме у кожний момент часу , якщо відомий кут повороту кривошипа . Тому кут є узагальненою координатою для кривошипно – шатунного механізму.

Знайдемо вектор швидкості i-тої точки системи , виразивши його через узагальнені координати. Із кінематики відомо, що

(d)

Зауваживши, що - складна функція часу, отримаємо

(e)

Похідні від узагальнених координат за часом називаються узагальненими швидкостями, а другі похідні за часом від узагальнених координат (або похідні за часом від узагальнених швидкостей) називаються узагальненими прискореннями. Позначаються вони відповідно

(j = 1,2,…,N). (3.11 а)

(j = 1,2,…,N). (3.11 b)

Швидкість і-тої точки

(3.12)

Із (3.12) видно, що вектор швидкості – лінійна функція узагальненої швидкості.

Знайдемо співвідношення, котре буде використано при виводі рівнянь Лагранжа другого роду – частинну похідну від швидкості по узагальненій швидкості

… ,

або:

(3.13)

б. Узагальнені сили та їх визначення

Надамо узагальненим координатам приросту

d ; d ; . . . ; d

Новий радіус-вектор із (11.5) буде визначено як

(а)

Звідси знаходимо d як головну частину приросту функції

(3.14)

Формула (3.14) показує приріст для випадку коли узагальнена координата отримує приріст .

До поняття про узагальнені сили прийдемо, виразивши елементарну роботу через узагальнені координати. Знайдемо елементарну роботу сил, що діють на точки системи, на можливих переміщеннях, вирахувавши її як скалярний добуток

(b)

Підставимо значення і отримаємо

(3.15)

Вираз (3.16)

називається узагальненою силою. Елементарна робота набуває вигляду

(3.17)

Щоб зрозуміти фізичний зміст узагальненої сили, розглянемо елементарну роботу, виконану силою, що діє на одну матеріальну точку

(c)

Для матеріальної точки декартові координати є також узагальненими. Це означає, що виражають досить малі прирости узагальнених координат, тобто мають те ж розуміння, що і у (3.17). Коєфіцієнти при варіаціях узагальнених координат у виразі (3.17) є проекціями сили. Тому коефіцієнти при варіаціях узагальнених координат назвали узагальненими силами (Q_j можуть бути також і моментами сил).

Узагальненою силою називається фізична величина, яка має таку властивость: добуток узагальненої сили та варіації відповідної їй узагальненої координати рівний елементарній роботі, що виконують сили на будь-яких можливих переміщеннях точок системи, визначених зміною цієї узагальненої координати.

Покажемо, що для визначеного класу в’язей, які називають ідеальними, узагальнені сили залежать лише від активних сил і не залежать від реакції в’язей.

Як приклад ідеальної в’язі наведемо ідеально гладку поверхню. У зв’язку з відсутністю сили тертя, реакція такої поверхні направлена по нормалі до її елемента (рис.3.13). Можливі переміщення точки прикладення реакції лежать в площині, дотичній до опорної поверхні. Робота реакції на можливе переміщення рівна нулю:

Ідеальною в’яззю можна вважати також жорсткий стрижень, що з’єднує точки М₁ та М₂ (рис.3.14). Реакції стрижня та направлені вздовж нього в протилежні напрямки і рівні між собою за величиною.

Надамо точкам М₁ та М₂ можливі переміщення та , знайдемо роботу реакцій та на цих переміщеннях за формулою (3.9), що виражає теорему про роботу сил, які діють на абсолютно тверде тіло.

Із рівності = маємо головний вектор і головний момент системи сил та рівні нулю, тобто

(3.18)

Знаку нерівності тут бути не може, бо точки не можуть здійснювати рухи, при яких вони покидають в’язь.

Для ідеальних в’язей узагальнені сили залежать не від їх реакцій, а лише від активних сил. При розгляді реальних в’язей їх можна наближено вважати ідеальними, віднісши сили тертя до активних сил.

Існує інший спосіб визначення узагальненої сили.

Якщо система рухається в потенціальному силовому полі, тобто вона консервативна, то узагальнена сила виражається через силову функцію U=U(q₁,q₂,…,q_N).Елементарну роботу консервативних сил на можливих переміщеннях можна подати у вигляді

(3.19)

Отже, для узагальненої сили дістанемо вираз

(3.20)

Виражаючи силову функцію через потенціальну енергію П, отримаємо

(3.21)

Сформулюємо правило визначення узагальнених сил.

Щоб знайти узагальнену силу, потрібно надати варіацію узагальненій координаті; знайти елементарну роботу виконувану активними силами на можливих переміщеннях точок системи, що відповідають варіації узагалненої координати. Коефіцієнт при варіації узагальненої координати у виразі елементарної роботи рівен шуканій узагальненій силі.