Б) Вимушені коливання в системі при наявності демпфірування

Розглянемо випадок, коли сила опору середовища, що діє на і-ту точку системи, пропорційна першому степені швидкості , де - коефіцієнт сил тертя, що визначається звичайно експериментально.

Знайдемо узагальнену силу опору середовища, скориставшись загальним виразом для узагальненої сили і тим, що

.

Введемо поняття функції розсіювання, або дисипативну функцію Релея

.

Для системи зі стаціонарними в'язями

,

де , крім того ,

.

Якщо система має один ступінь вільності, то

.

Отже, функція розсіювання є однорідною квадратичною функцією узагальнених швидкостей з коефіцієнтами, що залежать від узагальнених координат. Таким чином,

.

Для системи з одним ступенем вільності

, або .

Враховуючи вищевикладене, диференціальне рівняння руху системи з одним ступенем вільності, з урахуванням сил опору середовища, що змінюється за лінійним законом, має вид

(4.8)

Для більшості акустичних процесів, пов'язаних з випромінюванням звуку характерними є сферичні хвилі, які найкраще описуються степеневими функціями. Тому, диференціальне рівняння (4.8), що описує вимушені коливання в системі при наявності демпфірування, може бути представлено також у виді

,

де ; ; ; . (4.9)

Побудуємо його розв'язок методом комплексних амплітуд.

1) Розглянемо спочатку диференціальне рівняння:

(4.10)

Розв'язок цього рівняння складається з суми двох функцій

.

Перший доданок може бути знайдений з розв'язку однорідного рівняння

.

Тоді

, (4.10)

де а₁ і а₂ – сталі, що знаходяться з початкових умов.

Зробимо заміну та ,

тобто . Звідси

. ,

де

.

2) Розглянемо тепер рівняння

; (4.11)

;

.

Замінимо та , звідки

,

, бо

(4.12)

В зв'язку з тим, що коефіцієнти рівняння дійсні числа, шукаючи його частинний розв'язок від збурюючої сили у вигляді комплексної функції необхідно спочатку знайти комплексний розв'язок рівняння, а потім для відшукування залежності, що описує рух реальної фізичної системи, виділити тільки його дійсну частину. Фактичне виконання такої операції у задачах акустики часто непотрібно, бо усі необхідні відомості вдається добути безпосередньо з комплексного розв'язку.

Знайдемо частинний розв'язок рівняння символічним методом

Введемо позначення:

; ;

Звідси

Частинний розв'язок рівняння (4.12) отриманий символічним методом повністю співпадає з розв'язком рівняння (4.9) методом комплексних амплітуд. Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння (4.8), що описує вимушені коливання в системі з урахуванням сил опору середовища має вид

рис. 4.9

(4.13)

В режимі усталених коливань (при t→∞) останній вираз має вид:

,

де

Знайдемо закон зміни швидкості

;

-амплітуда вимушених коливань.

Введемо позначення:

- безрозмірна частота;

- безрозмірний коефіцієнт демпфірування;

- статичне зміщення в системі.

Тоді або .

Якщо в деякій точці функція f(z) приймає мінімальне значення, то А(z) має максимум в цій точці. Знайдемо екстремуми f(z).

; ;

рис. 4.10

1) ;

2) ; .

Беремо тільки позитивні значення для z, отже .

Звідси , тобто .

Знайдемо другу похідну f(z):

;

, тобто в точці z=0 функція f(z) має максимум, а А(z) – мінімум.

- в функція f(z) має мінімум, а А(z) – максимум.

Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти А(ω) наведена на рис.4.10 (крива 1).

Якщо частота зовнішньої сили збігається з власною частотою системи, то виникає така ситуація, коли система здатна споживати усю енергію, закладену в джерелі. При цьому говорять про виникнення явища резонансу. Частота, на якій виникає резонанс називається резонансною.

Дослідимо залежність амплітуди швидкості від частоти.

, або

. Тоді