Б) Вимушені коливання в системі при наявності демпфірування
Розглянемо випадок, коли сила опору середовища, що діє на і-ту точку системи, пропорційна першому степені швидкості , де - коефіцієнт сил тертя, що визначається звичайно експериментально.
Знайдемо узагальнену силу опору середовища, скориставшись загальним виразом для узагальненої сили і тим, що
.
Введемо поняття функції розсіювання, або дисипативну функцію Релея
.
Для системи зі стаціонарними в'язями
,
де , крім того ,
.
Якщо система має один ступінь вільності, то
.
Отже, функція розсіювання є однорідною квадратичною функцією узагальнених швидкостей з коефіцієнтами, що залежать від узагальнених координат. Таким чином,
.
Для системи з одним ступенем вільності
, або .
Враховуючи вищевикладене, диференціальне рівняння руху системи з одним ступенем вільності, з урахуванням сил опору середовища, що змінюється за лінійним законом, має вид
(4.8)
Для більшості акустичних процесів, пов'язаних з випромінюванням звуку характерними є сферичні хвилі, які найкраще описуються степеневими функціями. Тому, диференціальне рівняння (4.8), що описує вимушені коливання в системі при наявності демпфірування, може бути представлено також у виді
,
де ; ; ; . (4.9)
Побудуємо його розв'язок методом комплексних амплітуд.
1) Розглянемо спочатку диференціальне рівняння:
(4.10)
Розв'язок цього рівняння складається з суми двох функцій
.
Перший доданок може бути знайдений з розв'язку однорідного рівняння
.
Тоді
, (4.10)
де а1 і а2 – сталі, що знаходяться з початкових умов.
Зробимо заміну та ,
тобто . Звідси
. ,
де
.
2) Розглянемо тепер рівняння
; (4.11)
;
.
Замінимо та , звідки
,
, бо
(4.12)
В зв'язку з тим, що коефіцієнти рівняння дійсні числа, шукаючи його частинний розв'язок від збурюючої сили у вигляді комплексної функції необхідно спочатку знайти комплексний розв'язок рівняння, а потім для відшукування залежності, що описує рух реальної фізичної системи, виділити тільки його дійсну частину. Фактичне виконання такої операції у задачах акустики часто непотрібно, бо усі необхідні відомості вдається добути безпосередньо з комплексного розв'язку.
Знайдемо частинний розв'язок рівняння символічним методом
Введемо позначення:
; ;
Звідси
Частинний розв'язок рівняння (4.12) отриманий символічним методом повністю співпадає з розв'язком рівняння (4.9) методом комплексних амплітуд. Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння (4.8), що описує вимушені коливання в системі з урахуванням сил опору середовища має вид
рис. 4.9 |
(4.13)
В режимі усталених коливань (при t→∞) останній вираз має вид:
,
де
Знайдемо закон зміни швидкості
;
-амплітуда вимушених коливань.
Введемо позначення:
- безрозмірна частота;
- безрозмірний коефіцієнт демпфірування;
- статичне зміщення в системі.
Тоді або .
Якщо в деякій точці функція f(z) приймає мінімальне значення, то А(z) має максимум в цій точці. Знайдемо екстремуми f(z).
; ;
рис. 4.10 |
1) ;
2) ; .
Беремо тільки позитивні значення для z, отже .
Звідси , тобто .
Знайдемо другу похідну f(z):
;
, тобто в точці z=0 функція f(z) має максимум, а А(z) – мінімум.
- в функція f(z) має мінімум, а А(z) – максимум.
Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти А(ω) наведена на рис.4.10 (крива 1).
Якщо частота зовнішньої сили збігається з власною частотою системи, то виникає така ситуація, коли система здатна споживати усю енергію, закладену в джерелі. При цьому говорять про виникнення явища резонансу. Частота, на якій виникає резонанс називається резонансною.
Дослідимо залежність амплітуди швидкості від частоти.
, або
. Тоді
Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 558;