Принцип Даламбера-Лагранжа. Загальне рівняння динаміки

Принцип Даламбера дає можливість поширити принцип можливих переміщень на випадок руху системи. Дійсно, якщо до точок системи прикласти сили інерції, то можна вважати, що система перебуває у стані рівноваги. Тоді можна застосувати принцип можливих переміщень. У результаті дістанемо принцип Даламбера-Лагранжа.

Якщо на систему накладено ідеальні в’язі, то сума робіт активних сил і сил інерції на можливих переміщеннях точок системи буде від’ємною або дорівнюватиме нулю:

(3.6)

Як і раніше, знак нерівності стосується можливих переміщень, що зводять точки системи з однобічних в’язей.

При відсутності однобічних в’язей із нерівності (3.6) дістанемо рівність, яка називається загальним рівнянням динаміки:

(3.7)

Впроваджений термін пояснюється тим, що з цього рівняння, як наслідок, випливають основні рівняння руху системи, а також основні теореми динаміки.

Приклади

1. Балка АВ (рис.3.8) спирається в точках А та В на шарнірно-рухому і шарнірно-нерухому опори і знаходиться під дією двох сил ( і ), прикладених в точках С і D(AC=CD=DB=a). Кут відомий. Користуючись загальним рівнянням статики, визначити реакцію опори В.

Скористаємось аксіомою про звільнення від в’язей і прикладемо в точці силу В, яку приєднаємо до вже відомих активних сил. Розглянемо балку АВ як систему з ідеальними двобічними в’язями. Надамо точкам системи можливих переміщень: , , . Застосовуючи загальне рівняння статики (4.3), дістанемо

(а)

або

(b)

Встановимо зв’язок між , , . Елементарні геометричні обчислення дають змогу знайти

; .

Тоді вираз (b) запишеться у вигляді

Після очевидних спрощень знайдемо

2. На подвійному блоці знаходяться ланцюги, які підтримують тягарі і (рис.3.3). Знайти кутове прискорення блока, нехтуючи його масою і масами ланцюгів, якщо вага тягарів відповідно і .

Припустимо, що > . Напрями прискорень тягарів дають змогу визначити напрями сил інерції і .Надамо точкам системи можливих переміщень , і скористаємося загальним рівнянням динаміки

(с)

Залежність між і така :

; . (d)

Сили інерції

; . (е)

Підставляючи (d) і (e) до (с) , маємо

,

звідки

.