Оптимальная линейная фильтрация полезного сигнала с постоянным приращением

Пусть разностное уравнение для неслучайного полезного сигнала имеет следующий вид:

, (13.15)

где - скорость изменения сигнала;

- интервал дискретизации.

Разностному уравнению соответствует модель полезного сигнала в виде полинома первого порядка:

, (13.16)

где , - некоторые параметры неслучайного полезного сигнала (начальное значение, скорость изменения).

Рисунок 13.2 – модель полезного и наблюдаемого сигналов

Параметры , должны быть оценены по результатам измерений , . Минимизируемый критерий в данном случае запишется следующим образом:

. (13.17)

В качестве оценок МНК будем использовать те значения параметров модели и , для которых критерий оптимальности минимален или производные критерия оптимальности равны нулю:

; (13.18)

. (13.19)

Результаты дифференцирования по оцениваемым параметрам имеют вид:

;

.

После выполнения операции суммирования с точностью до несущественных постоянных множителей получим:

;

.

Таким образом, получена система двух линейных уравнений относительно искомых параметров и . Решение системы имеет следующий вид:

;

.

Учтем следующие выражения:

; .

Оптимальные оценки параметров полезного сигнала методом МНК примут следующий окончательный вид:

; (13.20)

, (13.21)

где ;

.

Соответственно, оценка сигнала на момент последнего измерения запишется следующим образом:

, (13.22)

где .

Экстраполированное значение оценки сигнала на один дискрет времени вперед определяется выражением:

, (13.23)

где .

Рисунок 13.3 - Оценивание методом МНК, экстраполяция

Дисперсии полученных оценок скорости , фильтрованного и экстраполированного сигналов с учетом некоррелированности шумов наблюдения в различных дискретах времени запишутся в виде:

,

, (13.24)

.

Оценивание методом рекуррентной фильтрации

Рекуррентные уравнения оптимальной фильтрации могут быть получены в результате взвешенного суммирования экстраполированного значения сигнала с текущим рассогласованием:

, (13.25)

где - коэффициент фильтрации по положению сигнала.

Вес текущего рассогласования стремится к нулю, если экстраполированная оценка является идеальной ( ), и стремится к единице, если идеальным является текущий входной сигнал ( ). В последнем случае выражение (13.25) принимает вырожденный вид: .

Результирующие уравнения оптимальной дискретной линейной фильтрации имеют следующий рекуррентный вид:

, (13.26)

, (13.27)

, (13.28)

, (13.29)

,

,

где - экстраполированное значение измеряемого дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по положению сигнала;

- измеренное значение скорости изменения дискретного сигнала;

- экстраполированное значение скорости изменения дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по скорости сигнала.

Рисунок 13.4 - Оценивание реккурентным методом

Структурная схема оптимального линейного дискретного фильтра сигнала с постоянным приращением имеет следующий вид: рисунок 13.5.

В соответствии с рисунком 13.5 фильтр для фильтрации сигнала с постоянным приращением представляет собой дискретную следящую систему с двумя цифровыми интеграторами в разомкнутой цепи, измерением скорости приращения и переменными коэффициентами фильтрации контуров по положению и скорости.

Рисунок 13.5 – структурная схема рекуррентной оптимальной линейной фильтрации сигнала с постоянным приращением