Z-преобразование синусной компоненты выходного сигнала связано с Z-преобразованием входного сигнала следующим соотношением

Из последнего соотношения получим

Используя подстановку , найдем комплексный коэффициент передачи фазорасщепителя по выходу синусной компоненты

Определим АЧХ и ФЧХ фазорасщепителя по выходам косинусной и синусной компонент

, , (3.1)

, . (3.2)

Из последних соотношений следует:

1. Фазочастотные характеристики фазорасщепителя по обоим выходам линейны, а их разность .

2. АЧХ по выходу синусной компоненты отличается от АЧХ по выходу синусной компоненты.

На рисунке 3.2 показаны АЧХ фазорасщепителя на двух элементах задержки (K=1) при B₁=0.5, а на рисунке 3.3 – АЧХ фазорасщепителя на шести элементах задержки (K=3) при B₁=0.6, B₃=0.1. Из рисунков видно, что при увеличении длины линии задержки полоса пропускания фазорасщепителя по выходу синусной компоненты расширяется, а АЧХ приближается к АЧХ по выходу косинусной компоненты.

Рисунок 3.2 – АЧХ фазорасщепителя на двух элементах задержки

Рисунок 3.3 – АЧХ фазорасщепителя на шести элементах задержки

Дальнейшее увеличение длины линии задержки приближает АЧХ по выходу косинусной компоненты к идеальной АЧХ по выходу синусной компоненты, однако на границах интервала Котельникова коэффициент передачи по выходу синусной компоненты всегда равен нулю, что следует из (3.1).

Таким образом, реальный нерекурсивный ФР отличается от идеального амплитудной погрешностью, которую можно уменьшить за счет увеличения длины линии задержки и оптимального выбора коэффициентов B₂_m+1.

3.2. Всепропускающая цифровая цепь

На рисунке 3.4 показана цифровая цепь первого порядка, содержащая как рекурсивную, так и нерекурсивную части.

Рисунок 3.4 – Всепропускающая цифровая цепь

Ее системная функция описывается следующим соотношением

Особенностью этой цепочки является равенство коэффициентов, определяющих свойства рекурсивной и нерекурсивной частей фильтра.

Определим комплексный коэффициент передачи, воспользовавшись подстановкой

Из последнего соотношения следует, что модуль комплексного коэффициента передачи равен единице при любых значениях . Именно поэтому данная цифровая цепь называется всепропускающей.

Определим ФЧХ цепи

На рисунке 3.5 показаны две ФЧХ при разных значениях коэффициента а.

Рисунок 3.5 – ФЧХ всепропускающих цепей при а = 0.5 ( ) и а = -0.5 ( )

Обе цепочки имеют нулевой фазовый сдвиг при =0 и фазовый сдвиг при = . Однако на других частотах они расходятся так, что в ограниченном частотном диапазоне существует примерно постоянная разность фазовых сдвигов, вносимых ими. Это позволяет использовать всепропускающие цепи для построения рекурсивных фазорасщепителей.

3.3. Рекурсивный 90 – градусный фазорасщепитель

На рисунке 3.6 показан фазорасщепитель, выполненный на двух всепропускающих цепях, имеющих общий вход (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 – 90-градусный фазорасщепитель

Комплексные коэффициенты передачи двух всепропускающих цепей, образующих ФР, определяются следующими соотношениями

Определим разность фазовых сдвигов, вносимых всепропускающими цепями

Умножив числитель и знаменатель дроби под знаком аргумента на , получим

где .

Экстремум функции имеет место при выполнении условия

Экстремальное значение функции равно

При наличии одной точки экстремума для получения равновеликих по абсолютной величине отклонений от требуемого значения необходимо выполнить два условия:

, ,

где и - нижняя и верхняя границы расчетного интервала.

Из первого условия находится константа

Второе условие приводит к трансцендентному уравнению, позволяющему определить константу с

По известным коэффициентам с и d находятся коэффициенты системной функции

На рисунке 3.7 приведена зависимость фазового сдвига между выходными сигналами ФР при и .

Рисунок 3.7 – Зависимость фазового сдвига между выходными сигналами ФР,

содержащего по одной всепропускающей цепи в каждой ветви

Из него видно, что фазовая погрешность имеет равновеликие пульсации в заданном диапазоне частот. Максимальная величина погрешности составляет 26%. Для уменьшения погрешности нужно увеличивать количество всепропускающих цепочек.

На рисунке 3.8 показаны зависимости фазового сдвига между выходными сигналами фазорасщепителей, содержащих по 2 (а) и по 3 (б) фазосдвигающих цепи в каждой ветви. В интервале от до максимальные фазовые погрешности менее 3% и 0.3% соответственно.

б)

Рисунок 3.8 - Зависимости фазового сдвига между выходными сигналами ФР,

содержащих по 2 (а) и по 3 (б) всепропускающих цепи в каждой ветви

Применение всепропускающих цепей для построения рекурсивного ФР обеспечивает отсутствие у этих ФР амплитудной погрешности.

3.4. Генераторы пилообразных, прямоугольных, треугольных и

трапецеидальных колебаний

На рисунке 3.9 точками показаны отсчеты пилообразного колебания, которое при A>0 формируется следующим образом:

Записанное соотношение справедливо в дискретные моменты времени.

Если рассматривать не дискретные моменты времени, а порядковые номера отсчетов, то это соотношение можно записать так

Рисунок 3.9 – Пилообразное колебание

Из рисунка видно, что в периоде пилообразного колебания содержится интервалов дискретизации, следовательно, период T и частота F пилообразного колебания равны

Частота пилы прямо пропорциональна частоте дискретизации и отношению констант .

Рисунок 3.10 показывает, как из пилообразного колебания z получается последовательность прямоугольных импульсов I с периодом, равным периоду пилы, длительностью , максимальным уровнем I₁, минимальным уровнем I₂

Рисунок 3.10 – Формирование последовательности прямоугольных импульсов

из пилообразного колебания

Из подобия заштрихованного треугольника и треугольника - положительного полупериода пилы следует что

Откуда длительность импульса равна

Таким образом, изменяя константу С, можно регулировать длительность импульса.

Из пилы формируется треугольное колебание (рисунок 3.11) в соответствии со следующим соотношением

Это двухполярное треугольное колебание может быть использовано в качестве грубой аппроксимации синусоиды. Степень соответствия его синусоиде можно оценить по уровню высших гармоник в спектре этого колебания. Спектр содержит только нечетные гармоники, причем коэффициент третьей гармоники равен к_Г3= 10%, а коэффициент пятой гармоники к_Г5= 4%.

Из треугольного колебания формируется трапецеидальное колебание согласно соотношению

где B > 2.

Рисунок 3.11 – Формирование треугольных колебаний

Рисунок 3.12 – Формирование трапецеидального колебания

При B = 3 трапеция является хорошей аппроксимацией синусоиды: коэффициент третьей гармоники равен нулю, коэффициент пятой гармоники к_Г5= 4%.

3.5.Косинусно-синусные генераторы

3.5.1.Косинусно-синусный генератор с полиномиальной

аппроксимацией отсчетов выходных колебаний

Для формирования двух квадратурных компонент на выходе генератора используются два пилообразных колебания, сдвинутых друг относительно друга на четверть периода (рисунок 3.13). Исходным является одно из пилообразных колебаний при P=1 (в рассматриваемом случае z_c). Второе получается из него следующим образом

Из двух пилообразных колебаний формируются два треугольных описанным выше способом

Рисунок 3.13 – Формирование косинусной и синусной компонент из двух

пилообразных колебаний

Для формирования из треугольных колебаний синусоидальных используется функциональное преобразование F(Y), представляющее собой полином третьей или пятой степени:

где D = 0.70738,

где D₁= 0.745966, D₃ = - 0.305500, D₅ = 0.138149.

Отсчёты генерируемых колебаний определяются следующим образом:

При использовании полинома третьей степени коэффициент третьей гармоники равен к_Г3 = 0.5%, коэффициент пятой гармоники к_Г5= 0.1%.

При использовании полинома пятой степени к_Г3 =0.005%, к_Г5 = 0.005%.

Для дальнейшего уменьшения коэффициентов гармоник используются полиномы более высокого порядка [3].

3.5.2.Косинусно-синусный генератор с табличной организацией

отсчетов выходных колебаний

Функция sin(π z) при преобразует пилообразное колебание в синусоидальное (рисунок 3.14). Реализуется такой генератор путем записи табличных значений этой функции в постоянное запоминающее устройство (ПЗУ). Аргумент функции задает адрес ячейки, в которой хранится значение функции. Шаг изменения аргумента равен , где m-количество разрядов адреса ПЗУ.