Постановка задачи оптимальной линейной фильтрации. Методы оптимальной линейной фильтрации.

Постановка задачи оптимальной линейной фильтрации

Пусть наблюдается некоторый дискретный сигнал , который линейным образом связан с полезным сигналом уравнением наблюдения:

, (13.1)

где - дискретный гауссовский белый шум наблюдения.

Полезный дискретный сигнал в общем случае является случайным и задается некоторым разностным уравнением, распространенным примеров которого является:

, (13.2)

где - дискретный гауссовский белый шум, формирующий полезный сигнал.

Дискретный фильтр оптимальной линейной фильтрации должен сформировать оценку полезного сигнала , которая характеризуется минимальной ошибкой.

Методы оптимальной линейной фильтрации

Существуют следующие методы оптимальной линейной фильтрации:

- метод наименьших квадратов (МНК);

- метод рекуррентной оптимальной линейной фильтрации.

В качестве критерия оптимальности обоих методов выбирается критерий минимума суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от оцениваемых значений :

. (13.3)

По результатам методы МНК и рекуррентный эквивалентны. Однако метод МНК имеет следующие недостатки:

- большая емкость памяти устройств обработки;

- большие вычислительные затраты.

От недостатков метода МНК свободны рекуррентные алгоритмы оптимальной линейной фильтрации, при которых вновь поступающий входной сигнал немедленно используется для уточнения ранее полученной оценки:

. (13.4)

Согласно алгоритму (13.4) обработка входного сигнала происходит последовательно в реальном масштабе времени.

В простейших случаях рекуррентный алгоритм оптимальной линейной фильтрации может быть получен путем математических преобразований алгоритмов, полученных методом МНК.

В большинстве случаев необходимо использовать оригинальные уравнения рекуррентной оптимальной фильтрации.