Динамика груза, подвешенного к крану на трех канатах (трифилярный подвес груза)

Рассмотрим трифилярный подвес груза, выполненный по схеме рис. 108, и только применительно к общему случаю колеба­ний. При этом будем предполагать, что точки подвеса А, В и С в процессе их периодических перемещений, вызванных качкой, остаются всегда в одной горизонтальной плоскости. Такое пред­положение вызвано тем, что в кранах треугольник ABC распо­лагается самым различным образом, что не позволяет составить

единые уравнения, годные для всех конструкций. Поэтому здесь дается общая методика расчета, которая может быть легко пре­ломлена применительно к каждому конкретному случаю.

Все частные случаи, подробно разобранные в § 42 и 41, здесь применимы практически без изменений. Так, например, отклоне­ние груза от вертикали на угол у₀ при равномерном повороте крана с угловой скоростью ω_кр может быть рассчитано по формуле

(12). При этом, как видно из рис. 103 и 108, отклонения может не быть, если

или

Отклонение груза от вертикали на угол φ_maх при внезапном прекращении поворота крана приближенно (т. е. без учета влия­ния угла у₀) может быть рассчитано по формуле (23). Что же касается колебаний, то для этого вполне достаточно рассмотреть только общий их случай.

При периодических перемещениях точек подвеса, происходя­щих, например, по закону (17), колебания груза будут описы­ваться уравнениями (18), что видно из сопоставления рис. 108 и 109. Решение уравнений (18) связано с большими трудностями, вытекающими из необходимости следить в процессе расчета за положением груза, так как в зависимости от положения груза его

колебания могут происходить относительно шести различных центров: точек А, В, С и осей АВ, ВС, АС. Расчет существенно упростится, если рассматривать отдельно колебания от продоль­ной качки и от поперечной. В этом случае расчетными уравне­ниями будут выражения (19) и (20).

В большинстве случаев трифилярная подвеска груза приме­няется в кранах, имеющих механизм слежения за вертикальными перемещениями палубы обслуживаемого судна. Будем называть

обслуживающим то судно, на котором установлен кран или передающее устройство канат­ной дороги; второе судно, уча­ствующее в процессе приема — передачи груза, будем назы­вать обслуживаемым. При на­личии механизма слежения закон изменения координаты q в уравнениях (18)—(20) будет зависеть не только от скоро­сти механизма подъема v_M, но и от совместных вертикальных перемещений нока стрелы кра­на (центра трифиляра ABC) и палубы обслуживаемого суд­на. Если скорость механизма подъема крана v_H постоянна, а закон вертикальной качки обслуживаемого судна задан, на­пример, в виде

Рис. 109. Расчетная схема колеба­ний груза на трифилярной подвеске.

где _m1 — амплитуда вертикальных перемещении, то

где z определяется по формуле (17), выражающей закон верти­кальных перемещений нока стрелы крана.

Таким образом, при наличии механизма слежения колебания груза на трифилярной подвеске будут описываться уравнениями (18) или (19) и (20), в которых величину q и ее производные сле­дует определять из выражения (32).

§ 44. Динамика канатных дорог

Принципиальные схемы канатных дорог представлены в гл. IV (см. рис. 46, 47, 49, 50, 51 и др.).

Предварительный расчет

На рис. 110 представлена наиболее распространенная схема канатной дороги с траверзным расположением передающих кана­тов: несущего и тяговых. Траектория движения грузовой тележки,

отмеченная на рис. 110 штриховой линией, в статике согласно [14, 22] определяется по следующим зависимостям: — на участке АС

где у, z — координаты в системе Ayz (рис. 110); 6 — угол уАВ, имеющий положительное значение при отсчете его от оси Ау по

Рис. 110. Общая схема канатной дороги.

часовой стрелке и отрицательное при отсчете против часовой стрелки:

δ — расстояние между точками подвеса по горизонтали; S_н — натяжение несущего каната; S_т.п, S_T,л— натяжение правой и левой ветвей тягового каната; G — вес передаваемого груза.

Схемным решением легко добиться (а это желательно) равен­ства k = k₁ Тогда абсцисса точки С будет определяться по выра­жению

На участке АС натяжение канатов и тяговое усилие S_T привода передвижения тележки без учета сил трения в ее ходовых частях определяются по формулам

Очевидно, что на участке АС тележка могла бы перемещаться самопроизвольно, а тяговое усилие S_T играет здесь роль силы, удерживающей тележку от самопроизвольного движения. Усло­вием такого движения от А до В является

Расчет траектории движения тележки с грузом необходим для проверки прохождения груза над палубами и надстройками судна снабжения и корабля, над водой без окунания и захлестывания его волной, а также для определения формы приемных устройств, особенно в местах стыков жестких металлических рельсов с кана­тами. Из этого следует, что наиболее важно знать ординату макси­мального провисания груза z_max и ее абсциссу yz_mах, а также форму начальных и конечных участков траектории. Исследования в [14] показали, что при положительных значениях угла В (наиболее вероятный случай) абсцисса y_Zmax всегда меньше аб­сциссы у_с, а форма истинной (в статике) траектории движения грузовой тележки имеет вид, представленный на рис. 110.

На рис. 111 представлены зависимости Уz_тах — f₁(k,В,l) z_max = f₂ (k,B,l), заимствованные из [14, 22]. Максимальные и значения тягового усилия без учета сил трения в ходовых частях грузовой тележки при положительных углах В, согласно [14], будут наблюдаться при нахождении тележки в точках А и В, причем . Величины их могут быть определены по форму­лам (38), (40) или по зависимостям

где y_A ^и y_B — углы наклона касательных к траектории движения грузовой тележки в точках А и В.

Рис. 111. Кривые зависимостей у_zmax=f₁(к, ϐ, l);z_max = f₂ (к, ϐ ,l).

При проведении предварительного расчета очень удобным ока­зывается пользование графиками рис. 111. Пусть, например, заданы масса передаваемого груза G, расстояние между судами l, высоты над уровнем моря точек подвеса h_A и h_B и минимально допустимое расстояние груза от уровня моря h_min; требуется определить суммарное натяжение канатов.

Порядок расчета при этом следующий.

1. Находим z_max = h_A — h_min и .

2. Определяем отношение z_max/l, после чего по этому отноше­нию и найденному значению 6 по рис. 111, δ находим соответству­ющее им значение к. На рис. 111, а по k и B находим отношение Уz_maх/l и рассчитываем величину Уz_maх

3. По формуле (35) находим S_H +2S_{T п} = kG.

4. Найденное значение (S_Н + 2S_TП) умножаем на коэффи­циент динамичности к_д, величину которого при предварительном расчете согласно [25] можно принять равной 1,4.

5. По формулам (33)—(44) можно рассчитать, если это тре­буется, остальные характеристики.

Дифференциальные уравнения движения грузовой тележки

Пусть тележка находится в произвольном положении, отме­ченном на рис. 112 точкой D. Начало неподвижной прямоугольной системы координат xyz поместим в точку А. Масса тележки, сосредоточенная в точке D, имеет три степени свободы.

Рис. 112. Расчетная схема для канатной дороги.

В каче­стве обобщенных координат выберем: угол у, характеризующий отклонение плоскости треугольника ABD от вертикальной плос­кости Ayz; угол φ, характеризующий отклонение ветви каната AD от оси Az₁, лежащей в плоскости треугольника ABD и перпенди­кулярной к АВ; линейную координату q, совпадающую с ветвью каната AD и характеризующую ее удлинение, т. е. перемещение тележки в направлении от точки А. Обобщенные силы, соответ­ствующие этим обобщенным координатам, будут

где r₀ — отстояние тележки от точки А при t = 0; а и а — см, рис. 112, их значения будут даны ниже.

Проекции абсолютной скорости на оси х, у, z

где х_А, у_А, z_A — проекции переносной скорости, т. е. скорости перемещений точки подвеса А.

Следует заметить, что поскольку нами рассматривается движе­ние тележки, происходящее с постоянной скоростью q = v_т(v_т — скорость, развиваемая тяговым приводом) относительно точки А, то при подсчете абсолютной скорости мы имеем право учитывать переносную скорость только точки А. Влияние перемещений на качке точки В учитывается при подсчете обобщенных сил Q_φ и Q_q содержащих величины а и а, зависящие от перемещений точки В.

Подставляя последовательно значения проекций скоростей и обобщенных сил в уравнения (9), (7) и (8), получим систему диф­ференциальных уравнений движения грузовой тележки по несу­щему канату в процессе качки судов

Система уравнений (45) может быть решена на ЭВМ. При этом первые два уравнения системы не зависят от третьего, поскольку закон изменения q во времени известен

Входящие в систему уравнений величины а и а определяются по следующим зависимостям:

здесь l₀ — расстояние между точками А и В по горизонтали на тихой воде; h_A и h_B — см. рис. 110; у_в и z_B — перемещения точки В на качке (влиянием х_в пренебрегаем).

§ 45. Определение безопасного расстояния между судами, осуществляющими прием и передачу грузов с помощью траверзной канатной дороги.

Если два судна связаны между собой канатной дорогой, то на каждое из них при прямолинейном и равномерном движении действуют следующие силы (рис. 113):

Рис. 113. К расчету безопасного расстояния между судами.

R_yk — нормальная к диаметральной плоскости составляющая гидродинамических сил, действующих на корпус судна;

Р_y — нормальная к диаметральной плоскости составляющая гидродинамических сил, действующих на перо руля; M_k — гидродинамический момент; Р_в и М_ъ — соответственно поперечная сила и момент гидродина­мического взаимодействия судов, характеризующие так называемое присасывание; S — проекция натяжения несущего и тяговых канатов на

горизонтальную плоскость; Р_е — сила тяги винта; R_xk — сила сопротивления воды движению судна. При действии указанных сил составим два условия равновесия для равномерного прямолинейного движения судна

Подставляя в эти уравнения значения гидродинамических сил и моментов, указанные в [4, 13], после преобразований полу­чим следующие уравнения:

где F_A — приведенная площадь диаметральной плоскости судна; р — массовая плотность воды; с_1: с₂ — коэффициенты нормальной силы; а — угол дрейфа судна; q_п — коэффициент позиционного момента; L — длина судна; μ, — угловой коэффициент подъемной силы руля; ф₁ — коэффициент влияния корпуса; х_п — приведен­ный коэффициент влияния корпуса; S_a — приведенная площадь пера руля;

v — скорость судна; а_д — допустимый угол отклонения пера руля от диаметральной плоскости [4, 13]; с_у и с_m — гидродина­мические коэффициенты (см. [13]).

Заметим, что полученные формулы справедливы при углах дрейфа, не больших 15°; для случая а = 0 (см. рис. 113) они непригодны; при решении квадратного уравнения относительно а следует брать только положительное значение корня уравнения (поскольку канат является односторонней связью, работающей только на растяжение).

Как видно из вышеизложенного, коэффициенты к₁ и k₂ опре­деляют величину гидродинамических силовых факторов взаимо­действия между судами (Р_в и М_в). Результаты расчета величии k₁

и к₂ по формулам работы [13] в зависимости от расстояния между судами l представлены на рис. 114 и 115. Кривая 1 соответствует судам ПР «Профессор Баранов» — БМРТ «Пушкин», кривая 2 — TP «Прибой» — БМРТ «Пушкин», кривая 3—TP «Актюбинск» — БМРТ «Пушкин». Размерные характеристики этих судов:

Из рис. 114 и 115 очевидно, что силы гидродинамического взаи­модействия заметно уменьшаются при увеличении расстояния

Рис. 114. Зависимость коэффициен­та к₁от расстояния между суда­ми l.

Рис. 115. Зависимость коэффициен­та к₂от расстояния между суда­ми I.

между судами. На расстоянии l >= 60 м они становятся незначи­тельными. Полученные данные могут быть использованы (прибли­женно) и для других классов судов.

Определив безопасное расстояние, по уравнениям равновесия можно рассчитать требуемый угол дрейфа а и величину горизон­тальной составляющей натяжения канатов S₀ Для БМРТ типа «Пушкин» — представителя наиболее значительной серии судов рыбопромыслового флота — установлена более простая эмпири­ческая формула по определению допустимого значения величины S₀ при 0,5≤a/b≤1

В заключение заметим, что величину а (см. рис. 113) следует брать как можно меньшей. При а < 0 (слева от ЦТ судна) дости­гается лучшая поворотливость судна, но натяжение канатов будет способствовать увеличению отклонения с курса.

Выводы

В настоящей главе рассмотрены вопросы расчета колебаний груза на регулярном морском волнении. Методы расчета колебаний на нерегулярном волнении рассмотрены в гл. VIII.

Динамический расчет трифилярных подвесок и канатных дорог получается весьма сложным. По мнению авторов, целесообразнее указанные устройства проверять на моделях. Методика модели­рования и пересчета результатов модельных испытаний на натуру изложена в гл. IX.

Из расчетных уравнений (13), (15), (18)—(20) видно, что происхождение второго члена в них объясняется кориолисовой силой инерции. При этом при подъеме груза кориолисова сила инерции способствует раскачиванию груза, а при опускании играет роль силы сопротивления раскачиванию. Из этого следует, что опускать груз надо как можно с большей скоростью, а подни­мать с малой скоростью. Для канатных дорог желательна большая скорость при удалении от точек А и В (см. рис. 110) и малая — при приближении к ним. Для количественной оценки влияния скорости на раскачивание груза с помощью ЭЦВМ было просчитано уравнение (15) для раз­личных значений д₀ и q = v_M (скорость опускания). Величины полученных при этом угловых амплитуд φ_шах в радианах в первом цикле колебаний представлены ниже:

Как видно из приведенных данных, наибольшая интенсивность уменьшения раскачивания наблюдается при скоростях до 5—6 м/с. Чем больше груз удален от нока стрелы, тем существеннее сказы­вается влияние скорости опускания на уменьшение величины амплитуды раскачивания. Расчет показал, что при подъеме груза увеличение скорости подъема приводит к значительному увеличе­нию раскачивания; при скорости подъема v_M = 10 м/с амплитуда раскачивания возрастает неограниченно.

Полученные данные хорошо согласуются с формулой И. И. Оль­ховского (Курс теоретической механики для физиков. Изд. вто­рое. М., изд-во МГУ, 1974), которая при принятых здесь обозна­чениях будет иметь вид:

Для выявления эффективности бифилярных и трифилярных подвесок с помощью ЭЦВМ было просчитано первое уравнение из системы (19), полагая в нем х = х_mcos ω t, х_m = 1 м, φ = 1 1/c (эти данные примерно соответствуют продольной качке транспорт­ного судна типа «Ленинский комсомол» D = 7690 т при волнении моря 5 баллов — см. [2]), z = 0 (влияние вертикальной качки не учитывается), q' = 0 (влияние скорости привода подъема не рас­сматривается).

Результаты расчета показали, что при данных условиях коле­бания груза на бифилярной подвеске в плоскости бифиляра, а на трифилярной подвеске в любой плоскости не возникают при сле­дующих значениях величин L (расстояние между точками подвеса) и h (удаление груза от плоскости точек подвеса):

L, м........... 3 4 5 6

h, м........... 15 20 25 30

В то же время амплитуда раскачивания груза, подвешенного на одном канате, при этих же условиях достигает соответственно 15, 10, 7, 5°.

Следует отметить, что полученные расчетные данные были подтверждены моделированием. Результаты моделирования и ана­лиз уравнений (19) позволяют рекомендовать следующую прибли­женную формулу оценки эффективности бифилярных или трифи­лярных подвесок:

где а — амплитуда отклонения линии (или плоскости), проходя­щей через точки подвеса, от горизонтальной плоскости, обуслов­ленная качкой судна.

Данная формула позволяет определить минимальное значение угла φ₀ (половину угла между канатами подвески), исключающего раскачивание груза. Полученное по этой формуле значение угла в целях большей надежности следует увеличивать на 5—10%.

Глава VIII

ВЫПОЛНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ МЕТОДАМИ

ТЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 47. Общие положения

Решение задач динамики связано с необходимостью составле­ния дифференциальных уравнений, которые позволяют установить закон движения исследуемой системы тел или одного тела. Если дифференциальное уравнение учитывает все факторы, влияющие на изучаемое движение тела, то решение этого уравнения даст точный закон движения тела. Однако учесть все факторы, влия­ющие на движение, не всегда представляется возможным или оправданным. Это происходит, во-первых, из-за незнания при­роды отдельных действующих факторов. В этом случае такие факторы, если они существенны, учитываются приближенно. Во-вторых, некоторые факторы, мало влияющие на исследуемое движение, весьма усложняют само дифференциальное уравнение и его решение. В таких случаях этими несущественными факто­рами пренебрегают, примерами последних могут быть сопротивле­ние воздуха, трение в шарнирах при изучении маятниковых коле­баний и т. п.

Но даже при учете только существенных факторов могут полу­читься такие дифференциальные уравнения, которые не имеют точного аналитического решения, а решение их приближенными методами может оказаться весьма трудоемким. В таких случаях на помощь приходят методы теории вероятностей, и в частности, теория случайных функций. При решении задач динамики с по­мощью теории случайных функций, составляя дифференциальное уравнение движения изучаемого тела, возмущающую силу можно принимать изменяющейся по гармоническому закону с амплиту­дой, равной фактической. Дифференциальное уравнение при этом получится линейным с правой частью; аналитическое решение его известно. Методами теории вероятностей могут быть определены при нерегулярном волнении моря амплитуды качки судна, ампли­туды перемещения характерных точек двух судов, амплитуды колебаний груза, подвешенного на крюке, и т. п.

§ 48. Краткие сведения из теории вероятностей

Случайные величины и их числовые характеристики

Поскольку мы будем пользоваться методами теории случай­ных функций, рассмотрим только те понятия и определения тео­рии вероятностей, знание которых необходимо при изучении и применении теории случайных функций.

Случайная величина — такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное заранее не известное значение. Случайные величины, принимающие только отдельные, изолиро­ванные друг от друга значения, которые можно заранее пере­числить, называются прерывными, или дискретными, случайными величинами. Если же случайные величины не отделены друг от друга и могут непрерывно заполнять некоторый промежуток (зачастую бесконечный) их возможных значений, то такие случай­ные величины называются непрерывными.

Любую случайную величину полно характеризуют функция распределения и ряд распределения (для прерывной), или плот­ность распределения (для непрерывной). Однако при решении многих практических задач знание полной характеристики слу­чайной величины не требуется, и вполне достаточно располагать отдельными числовыми параметрами, в некоторой мере характери­зующими существенные черты распределения этой случайной величины.

Характеристики, которые позволяют выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайной величины, называются ее числовыми характеристиками.

Рассмотрим только те характеристики, знание которых потре­буется нам в дальнейшем. Основной характеристикой положения случайной величины на числовой оси является ее математическое ожидание, которое иногда называют средним значением случай­ной величины.

Математическим ожиданием М (X), или т_х случайной вели­чины, называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений, т. е.

где x_i — возможное значение случайной величины; p_i — вероят­ность появления этого значения.

Формула (46) справедлива для прерывных случайных величин. Для непрерывных случайных величин

где f(х) — плотность распределения величины X.

Чтобы лучше понять физический смысл математического ожи­дания, заметим, что при большом числе опытов среднее арифмети­ческое наблюденных значений случайной величины приближается (сходится по вероятности) к ее математическому ожиданию.

Мерой рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания является характеристика D (X), называемая дисперсией случайной величины

При вычислении дисперсий можно пользоваться формулами: — для прерывной величины

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Величина называется среднеквадратичным отклонением случайной вели­чины от математического ожидания.

Характеристики случайных функций

Случайной функцией X (t) называется такая функция, кото­рая в результате опыта может принять тот или иной заранее не известный конкретный вид. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется ее реализа­цией. Группа опытов дает группу, или «семейство», реализаций случайной функции. Каждая реализация, естественно, представ­ляет собой обычную (неслучайную) функцию. Следовательно, в результате опыта случайная функция превращается в обычную, неслучайную функцию. При некотором зафиксированном значе­нии аргумента t функция X (t) превращается в обычную случай­ную величину, называемую сечением случайной функции, соответ­ствующим моменту времени t.

При рассмотрении отдельных случайных величин случайного явления последнее изучается как бы «в статике». Теорию случай­ных функций в этом смысле, по образному определению Е. С. Вентцель, можно назвать «динамикой случайных явлений».

Характеристики случайных функций в общем случае представ­ляют собой не числа, а функции.

Математическим ожиданием случайной функции X (t) назы­вается неслучайная функция m_х (t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции

По смыслу математическое ожидание случайной функции пред­ставляет собой некоторую среднюю функцию (рис. 116), около которой различным образом располагаются конкретные реализа­ции случайной функции.

Дисперсией случайной функции X (t) называется неслучайная функция D_x (t), значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции

Если для описания основных особенностей случайной вели­чины достаточно знания математического ожидания и дисперсии, то для случайной функции этого уже будет недостаточно. Про­иллюстрируем сказанное на примере рис. 116, на котором пока­заны реализации двух случайных функций Х₁ (t) и Х₂ (t),

имеющих примерно одинаковые математические ожидания и диспер­сии. Характер же этих случайных функций совершенно различен: одна из них изменяется со временем плавно и постепенно, а дру­гая — резко и быстро, имея вид неправильных, беспорядочных колебаний. Для случайной функции Х₁ (t) значения одной и той же реализации в двух близлежащих сечениях примерно одина­ковы, а для случайной функции Х₂ (t) — различны и даже могут быть расположены по разную сторону от математического ожида­ния; Следовательно, для описания особенностей случайных функ­ций нужна еще какая-то характеристика, учитывающая степень

Рис. 116. Реализации двух случайных функций

зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным моментам времени t. Такой характеристикой является корреляционная, функция.

Корреляционной функцией случайной функции X (t) назы­вается неслучайная функция двух аргументов К_х (t; t'), которая при каждой паре значений моментов времени t, t' равна матема­тическому ожиданию произведения [X (t) — m_х (t)]*[X(t')—m_х(t')]

Очевидно, что при t = t' корреляционная функция, как это сле­дует из сопоставления формул (48) и (52), обращается в дисперсию. Это позволяет сделать вывод о том, что в качестве основных харак­теристик случайной функции могут применяться только ее мате­матическое ожидание и корреляционная функция.

Определение характеристик случайной функции из опыта

Для определения характеристик случайной функции X (t) над ней производители независимых опытов, в результате которых получается п реализаций этой функции. Каждая реализация находится путем подсчета случайных величин, соответствующих

этой реализации в моменты времени t₁, t₂, t_m, равноотстоящие друг от друга. Таким образом, в результате опыта для всех реа­лизаций находятся mn случайных величин. Математическое ожи­дание и дисперсия для каждого сечения случайной функции, т. е. для каждого момента времени t_k, согласно [3], определяются по формулам

где x_i (tk) — значение случайной величины, соответствующее i-й реализации в момент времени t_k

Корреляционная функция для сечений к и l, соответствующих моментам времени t_k и t_l определяется по формуле

Определив математическое ожидание и дисперсию для каждого сечения, можно построить зависимости m_х (t) и D_x (t) на графике, как это сделано, например, для m_х (t) на рис. 116. Корреляцион­ная функция К_х (t, t') как функция двух аргументов может быть воспроизведена только в пространственной (трехмерной) системе координат, в которой аргументы t и f' располагаются в одной плоскости, а сама корреляционная функция на оси, перпендику­лярной этой плоскости.

Определение характеристик случайной функции по характеристикам исходной случайной функции

Определение характеристик случайной функции методом, указанным выше, не всегда возможно и целесообразно по следу­ющим причинам:

— над проектируемым объектом (судно, прибор, система управления и т. п.) нельзя произвести опыты, поскольку сам объект еще не существует;

— постановка опытов над некоторыми объектами может ока­заться весьма сложной и дорогостоящей;

— данные опыта, полученные на одном объекте, нельзя рас­пространить на другие объекты, аналогичные, но не тождествен­ные первому.

Поэтому теория случайных функций предлагает в подобных случаях не прямые, а косвенные методы исследования случайных функций. Сущность косвенного исследования случайных функций заключается в следующем. Рассмотрим это на примере качки судна. Качка судна обусловлена волнением моря. Поскольку волнение моря имеет резко выраженный неправильный («нерегулярный») характер, то процесс волнения моря можно отнести к категории случайных. Очевидно, что и качка судна под действием нерегуляр­ного волнения также будет носить случайный характер. Введем

следующую терминологию. Исследуемые объекты (в на­шем случае судно) будем называть динамической си­стемой. Причину, вызыва­ющую нарушение равнове­сия динамической системы, назовем воздействием (вол­нение моря), а сам резуль­тат выхода динамической системы из равновесного положения — реакцией динамической системы (качка судна).

Очевидно, что воздействие является исходной случайной функ­цией, а реакция — преобразованной случайной функцией. Будем считать, что динамическая система (рис. 117) осуществляет над входным воздействием некоторое преобразование, в результате которого исходная случайная функция X (t) преобразуется в дру­гую случайную функцию Y (t). Символически это записывается так:

Рис. 117. Преобразование случайной функции динамической системой.

где А означает преобразование, которое для неслучайных функций х (t) и у (t) сводится к решению дифференциального уравнения, связывающего воздействие х (t) с реакцией у (t).

Из формулы (56) следует, что, зная характеристики исходной случайной функции и ее преобразование А, можно получить характеристики исследуемой преобразованной случайной функции. Например, зная характеристики волнения моря, можно опреде­лить характеристики качки не одного, а любого судна.

Для стационарных случайных процессов весьма удобный метод определения характеристик преобразованной случайной функции по характеристикам исходной случайной функции дает теория стационарных случайных функций (или процессов).

Случайная функция X (t) называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от выбора начала отсчета времени (например, волнение моря). Аргументом функции может быть не только время. Если же ее аргументом является время, то такая функция может быть названа процессом.

Для стационарной случайной функции, как следует т опре­деления,

т. е. математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от положения сечений t и t' = t + т, а только от промежутка т между первым и вторым сечениями, т. е.

Спектральная теория стационарных случайных процессов основана на представлении случайных функций в виде спектраль­ных разложений на гармонические колебания различных частот φ₁, φ₂, φ_k, причем амплитуды этих колебаний являются случайными величинами. Обычно спектр стационарной случайной функции описывает распределение дисперсий по различным частотам. Как следует из [3], дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения. Если по оси ординат откладывать дисперсии D_k, соответствующие своей частоте w_k то мы получим «прерывистый», или «линейчатый», спектр дисперсий. Сумма ординат такого спектра равна дисперсии случайной функции. Если же по оси ординат откладывать не саму дисперсию D_k, а ее среднюю плот­ность, т.е. дисперсию, приходящуюся на единицу длины данного интервала частот φ, то получим ступенчатую диаграмму, высота которой на участке φ, прилежащем к точке φ_k, равна

и представляет собой среднюю плотность дисперсии на этом уча­стке. Суммарная площадь всей диаграммы опять же будет равна дисперсии случайной функции.

Устремляя φ - О, из ступенчатой диаграммы получим плавную кривую S_x (φ), называемую спектральной плотностью дисперсии, или просто спектральной плотностью стационарной случайной функции. Очевидно, что кривая S_x (со) изображает плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра, а площадь, ограниченная этой кривой, равна дисперсии D_x случайной функции X (t)

Спектральная плотность S_x (со) описывает частотный (или амплитудно-частотный) состав стационарного процесса. Эта ха­рактеристика, однако, не является самостоятельной; она пол­ностью определяется корреляционной функцией данного процесса.

Взаимосвязь между спектральной плотностью и корреляционной функцией стационарного случайного процесса определяется фор­мулами

Для преобразования исходной стационарной случайной функ­ции, согласно [3], достаточно только одно преобразование, а именно преобразование спектральной плотности входного про­цесса S_x (со). Очевидно, что это справедливо только для линейных динамических систем, т. е. для таких систем, которые описы­ваются линейными дифференциальными уравнениями. Преобра­зование осуществляется по формуле

где |Φ (φ) |² — квадрат модуля частотной характеристики системы, или, иначе, модуля передаточной функции; S_y (φ) — спектраль­ная плотность выходного процесса.

Модуль передаточной функции | Φ (φ) | представляет собой коэффициент, который связывает амплитуды функций у (t). и х (t) в том частном случае, когда входная функция х (t) является гар­монической и амплитуда ее равна единице. Например, в случае рассмотрения качки судна на нерегулярном волнении модуль передаточной функции можно найти как частное от деления выра­жения, полученного из решения линейного дифференциального уравнения качки, на соответствующую амплитуду волнения моря.

§ 49. Порядок решения задач динамики с помощью теории стационарных случайных функций

Рекомендуется следующий порядок решения.

1. Определяется модуль передаточной функции, для чего необходимо составить и решить дифференциальное уравнение, опи­сывающее изучаемый процесс (уравнение должно быть линейным). Для качки судов передаточные функции определены в [2, 14, 22].

2. По формуле (58) определяется спектральная плотность на входе, т. е. воздействия. Спектральная плотность волнения моря может быть рассчитана по формулам работы [2] или же взята в готовом виде из [16].

3. По формуле (60) рассчитывается и строится кривая спект­ральной плотности на выходе системы (например, качки судна).

4. По формуле (57) или <