Принимающее судно; 2 - передающее судно; 3 - кранцы; 4 — креплениекранцев. 8 глава

На нижнем конце цилиндра амортизатора установлены два двухпозиционных клапана, соединенные между собой с помощью рычагов и тяги.

К рычагу клапана 19 крепятся концы двух тросов 14, другие концы которых крепятся к рычагу с выемкой 12. Место установки рычага с выемкой строго определено. Когда поршень амортиза­тора находится в среднем поло­жении, ролик 11 насадки 10 дол­жен располагаться в выемке ры­чага. При этом клапаны 16 и 19 будут находиться в нейтральном положении.

Когда поршень амортизатора пойдет вверх, ролик насадки по­вернет рычаг 12 по часовой стрел­ке и с помощью канатов выведет клапаны из нейтрального поло­жения. При опускании поршня ролик вновь войдет в выемку ры­чага и переместит их в нейтраль­ное положение.

На рис. 95 показана принци­пиальная пневматическая схема устройства.

Для накопления рабочего объе­ма сжатого воздуха в схеме пре­дусмотрен баллон 13, который с помощью трубопроводов соеди­нен с цилиндром амортизатора 14. Постоянное пополнение баллона осуществляется от аккумулято­ра 11, который заряжается с по­мощью насоса 12. В результате этого в баллоне все время под­держивается давление, способное компенсировать усилие, создава­емое внешней силой (ГА) на пор­шневом штоке полиспаста, отчего поршень стремится занять нейтральное (среднее) положение.

На линии баллон — амортизатор расположены разобщитель­ный клапан 2 и золотник 1, через который происходит поступление рабочего тела в цилиндр амортизатора.

На линии амортизатор — глушитель расположены золотник 5, разобщительный клапан 6, двухпозициоиный клапан 9 (19 на рис. 94), золотник 8 и глушитель 4. Золотник 5, закрываясь, соз­дает сопротивление, препятствующее уходу поршня 15 от ней­трального положения, а открываясь, свободно пропускает воздух из цилиндра 14.

Рис. 95. Схема пневматической системы устройства.

1, 5, 8 — золотники; 2, 6 — разобщи­тельные клапаны; 3 — регулирующий клапан; 4 — глушитель; 7, 9— двухпозиционные клапаны; 10 — регуля­тор; 11 — аккумулятор; 12 — насос; 13 — баллон; 14 — цилиндр; 15 — поршень со штоком; 16 — неподвиж­ные блоки.

Для сохранения постоянного соотношения между давлением воздуха, поступающего из аккумулятора 11 в клапан 9, и давле­ния в баллоне 13 служит регулятор 10.

Кроме того, в схеме предусмотрены двухпозиционный клапан 7 (16 на рис. 94), предназначенный для травления воздуха из дрос­селя 5, и клапан 3 для ручной регулировки.

При качке обеспечивающего судна поршень 15 полиспаста под действием внешних сил будет стремиться смещаться вверх и вниз от нейтрального положения (давление воздуха в баллоне 13 не уравновешивает усилие в канате). Если, пройдя нейтральное положение, поршень 15 будет продолжать движение вниз (сбли­жение блоков полиспаста), произойдет открытие разобщительных клапанов 2 и 6 (клапан 3 закрыт). С помощью рычагов и тяг клапан 9 займет такое положение, при котором в баллон 13 и цилиндр 14 начнет поступать воздух из аккумулятора 11. Давле­ние воздуха на поршень 15 возрастет, что заставит его изменить направление движения (поршень пойдет вверх; расхождение бло­ков полиспаста). Пока поршень 15 в своем движении вверх не поднимется выше нейтрального положения, воздух все время будет поступать в баллон 13, причем интенсивность его нагнета­ния регулируется золотником 8, а давление регулятором 10. Как только поршень подойдет к верхнему крайнему положению, клапан 9 займет положение, при котором воздух из баллона через глушитель 4 будет стравливаться в атмосферу до тех пор, пока поршень не опустится ниже нейтрального положения, и далее цикл начнет повторяться.

Устройство для компенсации динамических нагрузок каната. Для компенсации указанных нагрузок используется специальное устройство; принцип его работы заключается в том, что динамиче­ские нагрузки, возникающие в грузовом канате в результате качки- обеспечивающего судна, принимаются нагрузочным датчи­ком, от сигнала которого смещается подвижный блок, благодаря чему и происходит демпфирование рывков в канате.

Как показано на рис. 96, грузовой канат проходит через главный блок к блоку обратной связи, который опирается на нагрузочный датчик и дальше через многошкивные блоки 6 и 10 идет на барабан электролебедки.

Нагрузочный датчик 5, соединенный с блоком обратной связи 4, выдает сигнал, являющийся функцией нагрузки на канат, в том числе и динамической нагрузки от рывков. Этот сигнал преобра­зуется в давление жидкости, которая по трубопроводу вводится в разгрузочный клапан 24 и впускной клапан 21. Средняя часть этих клапанов соединена трубопроводом с пневматическим цилин­дром 8. Внутри цилиндра имеется поршень 7, который с помощью штока смещает подвижный многошкивный блок 6 относительно неподвижного 10, чем вызывает травление или выбирание грузо­вого каната.

При нормальном положении поршня 25 разгрузочного кла­пана отверстие диафрагмы закрыто и воздух, находящийся под поршнем, не выходит в атмосферу. Однако при внезапном увели­чении нагрузки, воспринимаемой нагрузочным датчиком, гидра­влическое давление в нижней части клапана 24 увеличивается, в результате чего поршень 7 смещается, сближая блоки 6 и 10, вытравливая грузовой канат и опуская груз, подвешенный на гаке. Наоборот, при внезапном уменьшении нагрузки на канат

Рис. 96. Схема устройства компенсации динамических нагрузок каната.

1 — груз; 2— грузовой канат; 3— главный блок; 4— блок обратной связи; 5— на­грузочный датчик; 6— подвижный блок; 7, 14, 20, 22, 26— поршни; 8— пневмати­ческий цилиндр; 9— демпфирующее устройство; 10— неподвижный блок; 11— датчик обратной связи; 12— регулятор; 13, 16— запорные клапаны; 15— барабан электро­лебедки; 17— баллон высокого давления; 18— баллон; 19— воздушный насос: 21 —впускной клапан; 23, 26— золотники; 24— разгрузочный клапан.

поршень 20 впускного клапана смещается вниз вследствие паде­ния гидравлического давления под поршнем 22, в результате от­верстие в диафрагме клапана 21 открывается и пропускает воздух из баллона 18 сжатого воздуха через золотник 23 в главный ци­линдр 8. С увеличением давления воздуха в этом цилиндре пор­шень 7 смещается в другую сторону и раздвигает блоки 6 и 10, выбирая слабину грузового каната и поднимая груз, подвешен­ный на гаке.

Многошкивный блок 10 практически неподвижен, и соединен­ный с ним датчик обратной связи 11 служит для выявления изме­нения на канате лишь статической нагрузки. Сигнал этой на­грузки изменяет давление жидкости, которая по трубопроводу вводится в регулятор 12. При увеличении гидравлического давле­нии на поршень 14 он смещается и открывает отверстия в диа­фрагме. Через него баллон 17 сжатого воздуха высокого давления сообщается с баллоном 18, благодаря чему в нем поддерживается необходимое рабочее давление воздуха.

Подача сжатого воздуха повышенного давления из баллона 17 в баллон 18 происходит до тех пор, пока давление воздуха под поршнем 14 не уравняется с давлением жидкости с другой стороны поршня. Поэтому как только датчик 11 зарегистрирует увеличе­ние статической нагрузки, увеличивается давление воздуха в бал­лоне 18, и наоборот, при уменьшении нагрузки, воспринимаемой датчиком 11, рабочее давление в баллоне уменьшается. Насос 19 служит для поддержания высокого давления в баллоне 17, а демп­фирующее устройство 9 для удержания поршня 7 главного ци­линдра 8 в среднем положении.

§ 38. Выводы

Интерес к изучению океанского дна возрастает с каждым годом. Это обусловлено многими причинами и не последнее место здесь занимает резкое увеличение масштабов разведки и добычи нефти в открытом море. Выдвигаются самые разнообразные про­екты разработки новых конструкций буровых вышек и предложе­ния создать в открытом море для хранения нефти гигантских укрепленных на якорях подводных резервуаров. Строительство одного такого резервуара уже началось в Персидском заливе.

Интенсивно развивающаяся в последние годы за рубежом глубоководная техника для изучения и освоения океана пред­ставлена в основном обитаемыми техническими средствами, та­кими, как самоходные глубоководные аппараты и исследователь­ские подводные лодки, глубоководные водолазные системы, под­водные дома и лаборатории.

Транспортировка этих средств в район выполнения работ, а также спуск, подъем и обслуживание их в период пребывания в подводном положении осуществляется главным образом с по­мощью надводных судов обеспечения. Последние объединяют переоборудованные суда и суда, построенные по специальным проектам, которые, как правило, предназначаются для обслужи­вания одного определенного типа ГА. Таким образом, обеспечива­ющее судно и ГА рассматриваются в настоящее время как еди­ный комплекс.

Все обеспечивающие суда имеют относительно небольшое водоизмещение порядка 1500 т и в зависимости от конструкции и массы обслуживаемых ими ГА оборудуются различными типами спуско-подъемных устройств, средствами крепления, перемещения аппаратов по судну и другими системами.

Используемые за рубежом на обеспечивающих судах спускоподъемные устройства работают надежно при состоянии моря до 3 баллов.

В настоящее время ведутся работы по созданию новых более совершенных способов, систем и судовых грузовых устройств для спуска и подъема ГА, которые допускают выполнение спуско-подъемных операций в условиях более значительного волнения.

Решение этого вопроса идет по пути применения различных конструкций автоматических лебедок, лебедок с регулированием натяжения обгонных муфт и устройств компенсации динамиче­ских усилий в грузовых канатах. Помимо этого создаются гаки с дистанционным управлением и средства захвата ГА под водой.

Предусматриваются различные мероприятия по устранению или ограничению продольного и поперечного раскачивания ГА при его опускании и подъеме, для чего спуско-подъемные устрой­ства оборудуются системами ограничения этого раскачивания, что позволяет выполнять грузовые операции с необходимой степенью безопасности.

Для спуска и подъема тяжелых ГА за рубежом нашли приме­нение канатные элеваторы, которыми оборудуются обеспечива­ющие суда катамаранного типа.

Специфика проведения операций по спуску и подъему ГА потребовала создания канатов новых типов, изготовляемых на основе современной технологии, а успехи в области разработки синтетических материалов позволили создать прочные и эластич­ные канаты с высокой коррозионной стойкостью. Появились ка­наты, имеющие изолированные проводники, что позволяет ис­пользовать их для передачи электропитания и различных сигна­лов с обеспечивающего судна на ГА. (Плетеный канат, как пра­вило, имеет один изолированный проводник, а свивной — по проводнику в каждой пряди).

Канаты из синтетического материала имеют меньшую массу и меньшее поперечное сечение, чем стальные, при прочих равных характеристиках. Кроме того, при намокании они не растягива­ются и не теряют прочности, как пеньковые.

Фирма Rhodiaceto (Франция) создала синтетический канат, механическая прочность которого выше, чем у стального. Дру­гая фирма — Samson (США) изготовляет канат, совершенно не подверженный раскручиванию. Этот канат состоит из плетеного сердечника, покрытого плетеной оболочкой. Канаты, изготовлен­ные таким способом, прочнее аналогичных свивных и имеют зна­чительно меньшее удлинение. У плетеного каната более гладкая поверхность, чем у свивного, в результате чего уменьшается гидродинамическое сопротивление, что очень важно при прове­дении операции с ГА, требующей хода обеспечивающего судна. Кроме того, плетеный канат при хранении во влажном состоянии не теряет эластичности, что обычно свойственно свивным канатам. Отрицательным качеством плетеного каната является относительно высокая его стоимость по сравнению со свивным, поэтому целесообразно применять его в особо ответственных опера­циях.

Для изготовления синтетических канатов чаще всего приме­няют полистирол и нейлон. Полистирол с высокими механиче­скими показателями применяется для образования сердечника, а нейлон — для наружной оплетки.

Для сцепления нитей сердечника и оплетки используются химические связующие (полиамиды), придающие канату гиб­кость, огнестойкость и диэлектрические свойства.

Синтетический канат (сердечник из полистирола, оплетка из нейлона, связующее — полиамиды) имеет массу в 2,5 раза мень­шую, чем стальной канат одинаковой грузоподъемности.

В недалеком будущем, как считают зарубежные специалисты, синтетические канаты вытеснят из морской практики как расти­тельные, так и стальные канаты.

Значительный интерес представляет новый способ обеспечения работ с ГА, основанный на использовании для их спуска и подъ­ема погружающихся катамаранов и затапливаемых доков. Пер­спективность этого способа в том, что он допускает проведение работ в условиях значительного волнения.

Раздел второй

ОСНОВЫ РАСЧЕТА И МОДЕЛИРОВАНИЯ СРЕДСТВ ПЕРЕДАЧИ ГРУЗОВ В МОРЕ

Глава VII

ВЫПОЛНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ МЕТОДАМИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

§ 39. Общие положения

Традиционные судовые грузовые устройства (краны, стрелы и т. п.) имеют в своем составе, как правило, три механизма: поворота, изменения вылета стрелы и подъема. Такие устройства обеспечивают надежность и безопасность проведения грузовых операций только на тихой воде или при незначительном волнении моря. Безопасность передачи грузов в открытом море, т. е. в условиях качки судов, они не гарантируют, так как не исключают возможности соударения передаваемого груза с палубой или над­стройками судов. Поэтому с развитием морских транспортных перевозок и появлением необходимости производства грузовых операций непосредственно в открытом море встал вопрос о созда­нии таких судовых грузовых устройств, которые позволили бы надежно и безопасно (т. е. безударно) осуществлять грузовые операции при волнении моря до 3—5 баллов и даже более.

В настоящее время используются следующие конструктивные решения для создания указанных устройств: 1) введение в состав механизма подъема традиционных грузовых устройств так назы­ваемого механизма слежения, который обеспечивает равномерный подход передаваемого груза к палубе (или характерной точке) обслуживаемого судна; 2) снабжение кранов устройствами проти-вораскачивания груза.

Поскольку описания и методы расчета традиционных грузо­вых устройств широко освещены в технической литературе, то в данной книге изложены лишь особенности проектирования и расчета тех дополнительных устройств или механизмов, которые предназначены только для решения задачи о безударности пере­дачи грузов.

При расчете грузовых устройств наличие механизма слеже­ния и средств противораскачивания вызывает необходимость определения их эффективности и величины возникающих при этом динамических нагрузок в канатах грузового устройства, кото­рые передаются к приводам и металлоконструкциям устройства.

В настоящее время наметилось большое многообразие в кон­структивном исполнении механизмов слежения и устройств противораскачивания, что объясняется, во-первых, различными тре­бованиями, предъявляемыми к тем или иным грузовым устройст­вам, во-вторых, отсутствием опыта в их эксплуатации, так как они еще не получили широкого внедрения. Каждое такое грузовое устройство может быть описано вполне конкретной, только ему присущей расчетной схемой. Из этого следует, что сколько суще­ствует различных конструкций грузовых устройств, столько же будет и их расчетных схем. Таким образом, целесообразна разра­ботка общих основ расчета, которые в своей основе были бы при­годны к каждой конкретной конструкции устройств для контакт­ного и траверзного способов передачи грузов.

В качестве механизмов слежения обычно используются гру­зовые противовесы, пневмо- или гидроприводы и т. п. (см. гл. II и IV). Эффективность механизмов слежения выражается в соот­ветствии рабочего хода их выходного органа (например, барабана) возможным перемещениям между характерными точками обслу­живающего и обслуживаемого судов.

Методика расчета указанных возможных перемещений при­ведена в [2, 16]. Некоторые пояснения, дополнения и порядок осуществления такого расчета изложены в гл. VIII.

В качестве устройств противораскачивания широко исполь­зуются так называемые полифилярные подвески, чаще всего бифилярные или трифилярные, основы расчета которых и рас­смотрены в настоящей главе.

§ 40. Общие принципы выполнения динамического расчета Основные понятия и определения

Динамика является разделом механики, в котором изуча­ются законы движения материальных тел (т. е. тел, имеющих массу) под действием сил. В большинстве инженерных задач (например, полет снаряда) не требуется знания закона движения всех точек материального тела, а достаточно только определить закон движения центра масс этого тела. Согласно теореме тео­ретической механики о движении центра масс системы тел или

В однородном поле тяжести центр масс тала совпадает с его центром тяжести. Однородным полем тяжести считается такое, в котором силы тя­жести, действующие на частицы тела, параллельны друг другу и сохраняют для каждой частицы постоянную величину при любых поворотах тела. Практически поле-тяжести материальных тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным радиусом, можно считать однородным.

материальных точек центр масс системы движется, как материаль­ная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Мате­риальной точкой называется воображаемое материальное тело, не имеющее размеров, но обладающее такой же массой, как и протяженное тело, движение которого изучается. Совокупность материальных точек или тел, в которой положение или движение каждой точки (тела) зависит от положения и движения всех остальных точек (тел), называется механической системой этих точек или тел. Очевидно, что обычное твердое материальное тело можно также рассматривать как систему материальных точек (частиц, образующих это тело).

Силы, действующие на точки (тела) системы, делятся на внут­ренние и внешние. Внутренними называются силы взаимодейст­вия точек (тел) рассматриваемой системы. Внешними являются силы, действующие на точки (тела) системы со стороны точек (тел), не входящих в состав данной системы.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

— главный вектор (геометрическая сумма) всех внутренних сил одной системы равен нулю;

— главный момент (сумма моментов) всех внутренних сил сис­темы относительно любой точки или оси равен нулю.

В зависимости от границ выбранной системы одни и те же силы могут быть как внутренними, так и внешними. И внутрен­ние, и внешние силы могут быть активными (заданными) или реакциями связей. Кроме того, эти силы могут быть постоянными или переменными по величине и направлению. Переменные силы могут зависеть от времени (например, возмущающие силы, вызы­вающие колебания), от положения тела (например, сила упру­гости пружины), от скорости тела (силы сопротивления движению окружающей движущееся тело среды).

Связью в механике называется все то, что ограничивает пере­мещение данной точки (тела) в пространстве. Сила, возникающая при воздействии связи на тело и препятствующая его перемеще­ниям, называется реакцией связи. Идеальными (совершенными) называются такие связи, сумма работ всех реакций которых при элементарном перемещении системы (тела) равна нулю (например, гибкая нерастяжимая нить, жесткий недеформируемый стержень и т. п.). Геометрическими (голономными, конечными) называются связи, налагающие ограничения только на положение точек сис­темы в пространстве и совершенно не влияющие на их кинематику (скорость, ускорение). Все связи могут быть одно- и двусторон­ними. Если связь накладывает ограничения на перемещение точки в каком-либо одном направлении и одновременно в другом, проти­воположном первому, то такая связь называется двусторонней (жесткий стержень). Если же связь не накладывает ограничения на Перемещение точки в противоположном направлении, то она будет односторонней (гибкая нить).

Действие одной и той же силы на разные материальные тела не приводит к одинаковому результату. По истечении некоторого одинакового промежутка времени эти тела пройдут разные рас­стояния и будут иметь разные скорости. Свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения (приобретать то или иное ускорение) под действием приложенных сил называется инертностью тела. Количественной мерой инерт­ности данного тела является физическая величина, называемая массой тела. Очевидно, что ускорения, приобретенные двумя раз­ными свободными телами в результате действия на них одинако­вых сил, будут согласно второму закону Ньютона обратно про­порциональны массам этих тел.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: под дейст­вием сил материальные тела (или системы материальных тел) приобретают ускорения (именно ускорения, а не скорости); это означает, что движение тел под действием сил не является равно­мерным и, следовательно, методы статики к изучению такого дви­жения не применимы.

Задачи динамики и методы их решения

Из сказанного выше ясно, что целью динамики является установление взаимосвязи между действующими на систему (точку) силами и законом движения системы (точки) под дейст­вием этих сил.

Первая задача динамики сводится к определению действующих на точку сил при известном законе ее движения. Вторая задача динамики (основная) заключается в определении закона движения точки при известных действующих на нее силах.

Решаются обе задачи с помощью основного закона динамики (второго закона Ньютона). Применительно к точке основной закон динамики выражается следующим уравнением:

где m — масса точки; w — абсолютное ускорение точки; ∑F_k — сумма всех действующих на точку внешних сил, включая реакции связей; к — порядковый номер силы.

При решении практических задач вместо векторного уравне­ния (1) удобнее пользоваться уравнениями в проекциях, которые получим путем проецирования уравнения (1) на оси прямоуголь­ной (декартовой) системы координат

Выражения (2) называются дифференциальными уравнениями криволинейного движения точки.

Если траекторией движения точки является окружность (например, колебания математического маятника), то движение точки может быть описано дифференциальным уравнением в угло­вых координатах

где J = mp² — момент инерции массы точки относительно оси вращения; т — масса точки; ρ — расстояние от точки до оси вра­щения (радиус вращения); — угловое ускорение;

∑M(F_k) — сумма моментов всех действующих на точку внешних сил F_k (активных сил и реакций связей), взятых относительно оси вращения.

Порядок решения первой за­дачи динамики:

1) по заданному закону дви­жения точки найти закон измене­ния во времени ее ускорения, взяв вторую производную;

2) подставить найденное зна­чение ускорения в формулы (1) или (2) и вычислить величину равнодействующей всех сил, дей­ствующих на точку;

3) для вычисления реакции связи необходимо знать все актив­ные силы.

Пример 1. Закон движения тележки весом G по горизонталь­ной плоскости под действием силы P (рис. 97). выражается урав­нением х=lt3. Определить величину силы Р, принимая силу трения качения равной F_тp=bG.

Решение. Взяв вторую производную от х по t, получим х = 6lt. Подставим величину х в первое уравнение (2) и найдем 6mlt = Р — bG, откуда

Рис. 97. К примерам 1, 4, 7, 10.

т. е. для обеспечения требуемого закона движения тележки сила Р должна быть переменной величиной, зависящей от времени.

Пример 2. Груз массой m (рис. 98) поднимается на канате с ускорением φ. Вычислить натяжение каната S.

Решение. Вычислим сумму проекций всех действующих на груз сил

Используя третье уравнение (2), получим mφ=S—mg, откуда S=m(φ+g).

Порядок решения второй (основной) задачи динамики:

1) выбрать начало отсчета и провести через него координат­ные оси; начало отсчета следует совмещать с начальным положе­нием точки или, если таковое имеется, с положением ее статиче­ского равновесия; положительное направление координатных осей надо направлять в сторону движения;

2) изобразить движущуюся точку в произвольном положении, но так, чтобы ее координаты х, у, z и скорости х, у, z имели в этом положении положительное значение; обозначить все действу­ющие на точку внешние силы, включая реакции связей;

3) составить выражения для сумм проекций всех сил на координатные оси, выразив при этом все переменные силы через те величины (t, х, у, z, х, у, z), от которых они зависят;

4) вычисленные в п. 3 значения

∑F_kx, ∑F_ky, ∑F_kz подставить в диффе­ренциальные уравнения (2);

5) решить полученные дифферен­циальные уравнения.

Пример 3. Груз массой m подве­шен в неподвижной точке О на канате длиной l (рис. 99). Определить закон колебаний груза.

Решение. Причинами колеба­ний груза могут быть: отклонение гру­за от положения статического равно­весия (от вертикали) на какой-то угол φ₀; сообщение грузу ка­кой-то начальной скорости φ₀; одновременное действие первых двух факторов.

Рис. 98. К приме­ру 2. Рис. 99. К при­мерам 3, 5, 11.

Для нахождения закона колебаний груза используем диффе­ренциальное уравнение (3). За начало отсчета примем вертикаль­ную ось у. Положительным направлением будем считать такое, при котором движение происходит против часовой стрелки. Изо­бразим груз в произвольном положении, определяемом углом φ, и обозначим все действующие на него в этом положении внешние силы: массу груза mg, натяжение каната S (реакция связи). Найдем сумму моментов этих сил относительно оси вращения (точки О):

Знак «минус» в правой части поставлен по той причине, что мо­мент от силы тяжести mg направлен в сторону, обратную положи­тельному направлению движения груза. Подставляя значение ∑M(F_k) в уравнение (3), получим

или

Полагая колебания малыми, т.е. φ=sinφ, получим

Решение последнего дифференциального уравнения имеет вид

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ найдем из начальных усло­вий, полагая, что при t=0: φ =φ₀, φ=φ₀. Тогда получим

Если причиной колебаний является только отклонение груза от положения равновесия (от вертикали) на угол , то колебания будут происходить по закону

Если же причиной колебаний является только сообщение грузу в положении статического равновесия начальной скорости , то закон колебаний будет выражаться уравнением

Относительно угловой скорости дифференциальное уравнение (За) может быть решено точно. Для этого его необходимо пред­ставить в виде

а затем произвести следующие операции:

После интегрирования получим

Постоянная интегрирования С определяется исходя из на­чальных условий.

Натяжение каната S будет складываться из составляющей веса груза и центробежной силы, т. е.

Пример 4. Определить закон движения тележки (см. рис. 97), на которую в точке О стала действовать постоянная по величине и направлению сила Р, если сила трения качения F_mp=bv(v — скорость движения тележки). До начала действия силы Р тележка пребывала в покое.