Теорема Умова-Пойтинга для электромагнитного поля

Теорема Умова-Пойтинга устанавливает баланс мощностей в произ­воль­ном объеме электромагнитного поля. Математическая база теоремы разра­ботана русским математиком Умовым в 1874 году, а в 1884 году английский физик Пойтинг применил идеи Умова к элек­тромагнитному полю.

Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ог­раниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться час­тично или полностью ис­точники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Умножим скалярно уравнение (1) на , уравнение (2) на , и вычтем почленно ле­вые и правые части уравнений:

.

Из курса математики известно, что

Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (3) следует:

;

.

После преобразования получим:

Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объ­ему V:

Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Га­усса:

, где - вектор Пой­гинга [Вт/м ], численно равный плотности потока энергии в единицу вре­мени (потока мощности) через единицу поверхности вокруг рассматриваемой точки;

- мощность тепловых потерь или потребляемая мощ­ность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;

- мощность источников энергии внутри объема, эта мощность от­рицательна, если векторы и совпадают, и положительна, если эти векторы не совпа­дают;

- мощность элек­тро­магнитного поля, она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и от­рицательна, если идет процесс возврата энергии.

Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:

.

Формулировка теоремы Умова-Пойтинга: небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойтинга, направленным внутрь объема (знак - ) че­рез замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем.

Вектор Пойтинга направлен перпендикулярно плоскости, в которой рас­положены векторы поля и , характеризует величину и направ­ление энергии, проходя­щей в единицу времени через единицу площади в на­правлении вектора.

Теорема Умова-Пойтинга позволяет сделать важный теоретический вы­вод, что элек­трическая энергия от генератора к приемнику передается не по проводам линии электропере­дачи, а электромагнитным полем, окружающим эти провода, а сами провода выполняют две другие функции: 1) создают усло­вия для получения электромагнитного поля, 2) являются на­правляющими для потока электроэнергии.