Уравнения Максвелла в комплексной форме
Если векторы поля и изменяются во времени по синусоидальному закону, то синусоидальные функции времени могут быть представлены комплексными числами и, соответственно, сами векторы будут комплексными:
В записанных выражениях черта снизу символа означает «комплекс», а черта сверху – «вектор», соответственно читается «комплекс-вектор».
Учитывая, что операции дифференцирования в комплексной форме соответствует умножение комплексного изображения на множитель , то в уравнениях Максвелла в комплексной форме время, как координата, в явной форме отсутствует.
С учетом принятых обозначений система основных уравнений Максвелла в комплексной форме получит вид:
Комплексный вектор Пойтинга можно представить по аналогии с комплексной мощностью:
.
Теорема Умова-Пойтинга в комплексной форме (без вывода):
.
5. Плоская гармоническая волна в диэлектрике
Плоской называется электромагнитная волна с плоским фронтом, у которой векторы поля и взаимно перпендикулярны и при соответствующем выборе направления осей координат будут зависеть только от одной пространственной координаты z и времени t. Волна называется гармонической, если векторы поля и изменяются во времени по синусоидальному закону. Волна распространяется в однородном диэлектрике ( ), проводимость которого равна нулю ( ).
Выберем направления осей координат x, y, z так, чтобы вектор совпадал с осью x , вектор совпадал с осью y , тогда вектор Пойтинга будет направлен вдоль оси z (рис. 282):
Система уравнений Максвелла в комплексной форме:
Раскроем операцию rot в декартовой системе координат и учтем, что векторы поля содержат только по одной пространственной составляющей: , :
(вектор направлен по оси х),
(вектор направлен по оси у)
Таким образом, система уравнений Максвелла получит вид:
Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из переменных, например, . Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по переменной z и выполним в него подстановку из уравнения (1):
,
где - фазовая скорость волны.
Таким образом получилось дифференциальное уравнение 2-го порядка с одной переменной :
Решение для искомой функции:
где - корни характеристического уравнения:
В неограниченной однородной среде отраженные волны отсутствуют, поэтому примем С2=0, С1=Сejy, тогда решение для искомой функции получит окончательный вид:
где .
Решение для переменной получим из уравнения (2) путем подстановки в него найденного решения для переменной :
,
где - волновое сопротивление среды; для пустоты Ом.
Перейдем от комплексного изображения функций к их оригиналам:
Таким образом, электромагнитное поле в диэлектрике распространяется в виде незатухающих взаимно перпендикулярных в пространстве волн и со скоростью (рис. 283).
Отношение мгновенных значений волн в любой точке пространства и в любой момент времени постоянно и равно волновому сопротивлению .
Длиной волны λ называют расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2π:
откуда следует, что
Каждая из волн переносит энергию в направлении своего движения, при этом объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны между собой.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 479;