Т4. Переменное электромагнитное поле
1. Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
Основы теории электромагнитного поля или электродинамики были впервые изложены в 1873 г. английским ученым Максвеллом в труде «Трактат об электричестве и магнетизме». Математические уравнения, описывающие физические процессы в переменном электромагнитном поле, называются уравнениями Максвелла. Наиболее важные из них первые четыре, которые называются основными:
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 4 )
( 5 )
( 6 )
( 7 )
( 8 )
Рассмотрим более детально каждое из уравнений Максвелла и вытекающие из них следствия.
Физический смысл 1-го основного уравнения: переменное магнитное поле ( ) возбуждается как токами проводимости ( ), так и токами смещения ( ). Максвелл назвал плотностью тока смещения изменение во времени вектора электрического смещения :
Ток проводимости ( ) и ток смещения ( ) эквиваленты в отношении создания магнитного поля, но представляют собой различные физические явления. Если ток проводимости соответствует движению свободных зарядов, то ток смещения может существовать в пустоте, где заряды отсутствуют вообще.
Так как , то
Таким образом, плотность тока смещения в диэлектрике складывается из плотности тока смещения в пустоте ( ) и члена ( ), учитывающего поляризацию диэлектрика (перемещение связанных зарядов).
1-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму обобщенного закона полного тока. Для доказательства этого положения проинтегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:
Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса: , а в правой части равенства получим: , , следовательно:
- закон полного тока в интегральной форме.
Для стационарного поля и , тогда первое уравнение Максвелла превращается в уравнения магнитного поля постоянного тока:
, .
Из последнего равенства вытекают уравнения 2-го закона Кирхгофа для магнитной цепи:
.
Возьмем операцию div от левой и правой части основного уравнения (1):
Из математики известно, что div rot = 0 тождественно, тогда получим:
- уравнение непрерывности линий вектора плотности тока , которое гласит, что линии вектора непрерывны, концами линий плотности тока проводимости являются начала линий плотности тока смещения и наоборот.
Проинтегрируем обе части последнего уравнения по некоторому замкнутому объему V. В левой части по теореме Остроградского получим:
,
а в правой части:
,
следовательно: – закон сохранения заряда в интегральной форме.
Полученное уравнение показывает, что в переменном электромагнитном поле токи и заряды связаны и не могут задаваться независимо друг от друга.
Физический смысл 2-го основного уравнения: переменное электрическое поле ( ) возбуждается не только зарядами q, но и изменением во времени магнитного поля ( ).
2-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона электромагнитной индукции. Для доказательства этого положения проинтегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:
.
Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса: , а в правой части равенства получим: следовательно:
|
В электрических машинах переменного тока (генераторах, двигателях, трансформаторах) магнитное поле изменяется во времени по синусоидальному закону В обмотках машин это поле наводит синусоидальную ЭДС:
.
Действующее значение этой ЭДС равно:
- уравнение трансформаторной ЭДС.
Для стационарного поля , и 2-е уравнение Максвелла превращается в уравнения электростатического поля:
Из совместного анализа 1-го и 2-го уравнений Максвелла следует вывод, переменное электрическое и переменное магнитное поля должны рассматриваться как два связанных проявления единого электромагнитного процесса. Каждое из этих полей и их изменения во времени и пространстве являются одновременно и причиной и следствием друг друга. Совокупность этих двух полей называется электромагнитным полем.
3-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий магнитного поля. Оно гласит, что линии вектора магнитной индукции непрерывны, т.е. замкнуты сами на себя. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:
есть 1-й закон Кирхгофа для магнитной цепи.
4-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий электрического поля. Оно гласит, что линии вектора электростатической индукции имеют разрыв, они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:
или
есть уравнение теоремы Гаусса в интегральной форме.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 461;