Определение постоянных интегрирования

Определение постоянных интегрирования производится на заключитель­ном этапе расчета переходного процесса, когда остальные составляющие реше­ния уже найдены. Постоянные интегрирования определяются путем подста­новки в решение для искомой функции соответствующих начальных условий.

Пусть решение для искомой функции i(t) содержит только одну постоян­ную интегрирования:

Постоянная интегрирования находится путем подстановки в решение на­чального условия для самой функции, т.е. i(0):

.

Пусть решение для искомой функции i(t) содержит две постоянных ин­тегрирования и имеет вид:

Постоянные интегрирования в этом случае находятся путем подстановки в решение начальных условий для самой функции i(0) и для ее первой произ­водной :

В результате совместного решения этой системы уравнений определяют искомые постоянные интегрирования А₁ и А₂ .

Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов классическим методом показана ниже в виде диаграммы.

Примечания:1. Выполнение всех этапов, обозначенных в диаграмме клетками, является обязательным и необходимым.

2. Выполнение первых пяти этапов, находящихся в верхнем горизонталь­ном ряду диаграммы, может производиться в любой последовательности, так как они не зависят друг от друга.

Пример. Для схемы рис. 132 с заданными параметрами элементов: Е=100 В, R=50 Ом, R₁=20 Ом, R₂=30 Ом, С=83,5 мкФ, определить ток i₁ после комму­тации.

1)Общий вид решения для искомой функции:

2)Определение установившейся составляющей из расчета схемы после коммутации:

А

3)Характеристическое уравнение и его корень:

, с^-1

4)Независимое начальное условие u_с(0) из расчета схемы до коммутации:

В

5)Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации:

(1)

(2)

(3)

6)Начальное условие i₁(0), необходимое для определения постоянной ин­тегрирования из уравнения (1):

А

7)Определение постоянной интегрирования:

А

8)Решение для искомой функции:

9)Графическая диаграмма искомой функции i₁(t) показана на рис. 133:

9. Операторный метод расчета переходных процессов

Если система дифференциальных уравнений, которыми описывается пе­реходной процесс в схеме, решается операционным методом, то и сам метод расчета переходного процесса также называется операционным или оператор­ным.

Сущность операторного метода состоит в том, что на 1-ом этапе действи­тельные функции времени i(t), u(t), называемые оригиналами, заменяются неко­торыми новыми функциями I(p),U(p), называемыми операторными изображе­ниями. Соответствие между оригиналом функции f(t) и ее операторным изобра­жением F(p) устанавливается на основе прямого преобразования интеграла Ла­пласа:

или ,

где Û - знак соответствия; p=s+jw - комплексный оператор Лапласа.

Если s = 0, то p= jw, и преобразование Лапласа превращается в преобра­зование Фурье, которое лежит в основе комплексного метода расчета цепей пе­ременного тока.

Преобразование Лапласа позволяет заменить операции 2-го рода над ори­гиналами функций (дифференцирование и интегрирование) на операции 1-го рода (умножение и деление) над операторными изображениями этих функций.

Расчет переходных процессов операторным методом условно выполня­ется в 3 этапа.

На 1-м этапе расчета система дифференциальных уравнений, составлен­ная по законам Кирхгофа для оригиналов функций, после применения преобра­зования Лапласа превращается в систему алгебраических уравнений для опера­торных изображений этих функций.

На 2-ом этапе выполняется решение системы алгебраических оператор­ных уравнений относительно искомой функции, в результате чего получают выражение искомой функции в операторной форме F(p).

На заключительном 3-м этапе выполняется обратный переход от найден­ного операторного решения для искомой функции F(p) к соответствующей ей функции времени f(t), т. е. Выполняется переход от изображения функции F(p)к ее оригиналу f(t).

Теоретически обратный переход от операторного изображения функции F(p)к ее оригиналу f(t) устанавливается на основе обратного преобразования Лапласа:

.

На практике для обратного перехода используются более простые и удоб­ные методы, а именно: формула разложения и таблицы соответствия.