Методы составления характеристического уравнения

Свободный режим схемы не зависит от источников энергии, определяется только структурой схемы и параметрами ее элементов. Из этого следует, что корни характеристического уравнения p₁, p₂,…, p_n будут одинаковыми для всех переменных функций (токов и напряжений).

Характеристическое уравнение можно составить различными методами. Первый метод – классический, когда характеристическое уравнение составля­ется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений вы­полняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Со­ставляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным диффе­ренциальным и определяют его корни.

Пример. Составить характеристическое уравнение и определить его корни для переменных в схеме рис. 131. Параметры элементов заданы в общем виде.

Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

Решим систему уравнений относительно переменной i₃, в результате по­лучим неоднородное дифференциальное уравнение:

Характеристическое уравнение и его корень:

[c^-1]

Второй способ составления характеристического уравнения заключается в приравнивании нулю главного определителя системы уравнений Кирхгофа для свободных составляющих переменных.

Пусть свободная составляющая произвольного тока имеет вид , тогда

Система уравнений для свободных составляющих получается из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа путем замены производных от пере­менных на множитель р, а интегралов – на 1/р. Для рассматриваемого примера система уравнений для свободных составляющих имеет вид:

Характеристическое уравнение и его корень:

Третий способ составления характеристического уравнения (инженерный) заключается в приравнивании нулю входного операторного сопротивления схемы относительно любой ее ветви.

Операторное сопротивление элемента получается из его комплексного сопротивления путем простой замены множителя jω на р, следовательно

Для рассматриваемого примера:

;

;

.

Третий способ является наиболее простым и экономичным, поэтому он чаще других применяется при расчете переходных процессов в электрических цепях.

Корни характеристического уравнения характеризуют свободный пере­ходной процесс в схеме без источников энергии. Такой процесс протекает с по­терями энергии и поэтому затухает во времени. Из этого следует, что корни ха­рактеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрица­тельную вещественную часть.

В общем случае порядок дифференциального уравнения, которым описы­вается переходный процесс в схеме, и, следовательно, степень характеристиче­ского уравнения и число его корней равны числу независимых начальных усло­вий, или числу независимых накопителей энергии (катушек L и конденсаторов C). Если в схеме цепи содержатся параллельно включенные конденсаторы С₁, С₂,… или последовательно включенные катушки L₁, L₂,…, то при расчете пере­ходных процессов они должны быть заменены одним эквивалентным элемен­том С_Э =С₁ +С₂+… или L_Э =L₁ +L₂+…

Таким образом, общий вид решения для любой переменной при расчете переходного процесса может быть составлен только из анализа схемы цепи, без составления и решения системы дифференциальных уравнений.

Для рассматриваемого выше примера:

а) – при e(t)=E=const;

б) – при e(t)=E_msin(ωt+ ).