Способы составления системы операторных уравнений
При расчете переходных процессов операторным методом на практике применяется два способа составления системы операторных уравнений.
Сущность 1-го способа состоит в том, что для исходной электрической схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Затем каждое слагаемое в этих уравнениях непосредственно подвергается преобразованию Лапласа и таким образом система дифференциальных уравнений преобразуется в соответствующую ей систему операторных уравнений. Составление операторной схемы при этом не требуется.
По 2-му способу вначале составляется операторная схема цепи. Затем для операторной схемы по одному из методов расчета составляется система операторных уравнений, при этом преобразование Лапласа непосредственно не применяется.
Преимущество 2-го способа состоит в том, что система операторных уравнений для расчетной схемы может быть составлена по наиболее рациональному методу расчета.
Оба способа составления операторных уравнений иллюстрируются ниже на примере электрической схемы рис. 136.
По 1-му способу составляем систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для электрической схемы:
Подвергаем преобразованию Лапласа каждое слагаемое в этих уравнениях и таким образом превращаем их в систему операторных уравнений:
По 2-му способу составляется операторная схема замещения (рис. 137):
Для операторной схемы рис. 137 составляем систему уравнений по одному из методов расчета сложных цепей, например, по методу контурных токов:
,
или по методу двух узлов:
.
13. Переход от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t).
Формула разложения
В результате совместного решения системы операторных уравнений получают выражение для искомой функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображениеF(p). Переход от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к функции времениf(t), является наиболее трудоемкой частью операторного метода расчета. На практике для этой цели применяются два способа.
Первый способ – по таблице соответствия. В этом случае операторное выражение искомой функции F(p)преобразуется к одному из табличных видов и по таблице соответствия определяется оригинал функции f(t). Следует заметить, что такое преобразование удается осуществить только для простых выражений, что существенно ограничивает возможности этого способа.
Второй способ – по формуле разложения - является более универсальным, поэтому находит применение в большинстве практических случаев. Сущность этого способа изложена ниже.
При решении системы операторных уравнений для искомой функции получают операторное выражение F(p) в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоят степенные полиномы:
.
Из курса математики известно, что при выполнении условий: а) m>n иб)уравнение не содержит кратных корней, выражение = может быть представлена в виде суммы простых дробей:
,
где , , - постоянные коэффициенты, - корни уравнения .
Для определения коэффициента умножим обе части уравнения на множитель и найдем предел выражения F(p) при . Очевидно, что в правой части уравнения получим , а в левой – неопределенность, так как . Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя:
.
Следовательно, формула для произвольного коэффициента: .
Тогда выражение искомой функции получает вид:
По таблице соответствия находим, что операторному изображению соответствует оригинал , следовательно, оригинал искомой функции получает вид:
= Û
Это уравнение получило название формулы разложения и используется для перехода от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. функции времени . Порядок применения формулы разложения:
1) Операторное изображение искомой функции преобразуют к виду дроби = , чтобы в числителе и знаменателе ее стояли степенные полиномы.
2) Приравнивают к нулю знаменатель дроби и находят корни этого уравнения .
3) Находят выражение производной знаменателя дроби .
4) Определяют коэффициенты путем поочередной подстановки значений каждого из корней в это выражение.
5) Записывают решение для искомой функции времени в виде суммы отдельных слагаемых-экспонент, при необходимости упрощают полученное выражение: .
Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов операторным методом показано ниже в виде диаграммы.
Примечание. Составление системы операторных уравнений может выполняться по одному из двух вариантов: А - путем непосредственного преобразования дифференциальных уравнений Кирхгофа в операторные в и B -путем составления системы уравнений по одному из методов расчета для операторной схемы замещения.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 457;