Переходные функции по току и напряжению

Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными усло­виями в момент времени включается под действием источника постоян­ной ЭДС (рис. 148).

Переходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а посто­янную ЭДС заменить скачкообразной со скачком в момент (рис. 149).

Функция называется единичной скачкообразной функцией, имеющей значения:

Возникающие на любых участках цепи токи и напряжения прямо пропор­циональны скачкообразной ЭДС :

где - переходная функция по току, или переходная проводимость, - переходная функция по напряжению.

Переходная функция по току или по напряжению называется функция по времени, численно равная соответствующему току или напря­жению при включении цепи с нулевыми начальными условиями к источ­нику единичной постоянной . Переходные функции и мо­гут быть рассчитаны для любой схемы классическим или операторным мето­дом.

Пример.Рассчитать переходные функции для тока и напряжения в цепи R,С.

Выполним расчет переходного процесса в цепи R, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 3) классическим методом. В резуль­тате найдем:

; .

Искомые переходные функции получим из найденных выражений, заме­нив в них Е на 1.

; .

Переходные функции используются при расчете переходных процессов методом ин­те­грала Дюамеля.

20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процес­сов в элек­три­ческих цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС про­извольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной).

Пусть к источнику ЭДС произвольной формы подключается цепь с нулевыми на­чальными условиями и с заданной переходной проводимостью (рис. 4).

Заменим непрерывную кривую ЭДС приближенно ступенчатой с ин­тервалами по оси между отдельными скачками, равными . Первый скачок ЭДС равен и дей­ст­вует в момент . Все последующие скачки ЭДС можно определить как и действуют они с запаздыва­нием на , то есть в момент . Ток на выходе цепи в произвольный мо­мент времени t можно рассматривать в соответствии с принципом наложения как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС, следующих друг за другом через промежутки в интервале времени от 0 до t.

Частичный ток, вызванный первым источником ЭДС, будет равен , а час­тичные токи, вызванные последующими скачками ЭДС, будут равны: .

Результирующий ток равен сумме частичных токов:

.

Перейдем к бесконечно малым интервалам и заменим сумму интегралом:

.

Полученное выражение для носит название интеграла Дюамеля и применяется на практике для расчета переходных процессов в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или тока произвольной формы.

Порядок применения интеграла Дюамеля:

1) Выполняют расчет переходного процесса классическим или опера­торным ме­тодом при включении исследуемой цепи к источнику единичной по­стоянной ЭДС и таким образом определяют необходимую переходную функцию по току или по напря­же­нию .

2) Определяют переходную функцию или путем за­мены в выра­жениях или переменной на .

3) Находят производную от функции ЭДС и в получен­ном выраже­нии заменяют переменную t на t, в результате получают функцию .

4) Выражения функций , или подставляют в фор­мулу инте­грала Дюамеля, выполняют интегрирование по переменной и под­ставляют пределы интег­риро­вания по переменной t. При необходимости упро­щают структуру полученного выраже­ния искомой функции или .

Замечания:

1) Если функция претерпевает скачки или разрывы, то она разби­вается на от­дельные участки с плавным изменением функции, при этом инте­грал Дюамеля применяется к каждому участку в отдельности.

2) При расчете переходных процессов в цепях постоянного или сину­соидального тока метод интеграла Дюамеля проигрывает классическому и опе­раторному методам, по­этому для таких цепей он не применяется.

Пример. Рассчитать ток в цепи R, C при действии на нее трапецие­видного им­пульса с заданными параметрами (рис. 152):

Переходная проводимость схемы:

; .

Производная от функции ЭДС : ; .

Так как функция в момент времени изменяется скачком, то ее разбиваем на два участка , для каждого из которых находим свое решение для искомой функ­ции .

Решение для :

Решение для :