Законы электротехники в операторной форме

Мгновенные значения тока i(t) и напряжения u(t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравне­ний: u_R(t) = iR – для резистора; - для катушки индуктивности; - для конденсатора.

Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения: - для резистора; - для катушки индуктивности; - для конденсатора.

Таким образом, идеальным элементам R, L, C электрической схемы будут соответствовать новые схемные представления этих элементов в операторной схеме (см. табл.).

Здесь R, pL,1/pC – операторные сопротивления соответственно рези­стора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z(p)любого участка схемыможно получить из его комплексного сопротивления Z(jw), заме­нив в выражении множитель jw на оператор p.

Li(0), u_C(0)/p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t=0. На­правления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i(0) для источника L i(0)и навстречу напряжению u_C(0) для источника u_C(0)/p.

Электричес-кая схема	Дифференциаль-ные урав­нения	Операторные уравнения	Операторная схема
u			I(p) U(p)
u			U(p)
u			U(p)

C учетом полученных соотношений любую электрическую схему для оригиналов функций i(t), u(t) можно заменить соответствующей ей операторной схемой для изображений функций I(p) ,U(p). Например, электрической схеме рис. 134 соответствует операторная схема, представленная на рис. 135.

Для электрической схемы рис. 134 справедливо дифференциальное урав­не­ние, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

.

Для операторной схемы рис. 135 справедливо аналогичное уравнение, но в опе­раторной форме:

, откуда следует:

,

где – операторное сопротивление всей схемы, - сумма всех источников ЭДС контура, в том числе и внутренних.

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линей­ных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для слож­ных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому ме­тоду для электрических схем.