Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом


Замечания к формуле разложения.

1) Если в исходной схеме имеются источники постоянных ЭДС Е, то уравнение может иметь один корень, равный нулю ( ). Под­становка этого корня в формулу разложения дает постоянную величину , которая соответ­ст­вует установившейся составляющей искомой функции.

2) Если в исходной схеме имеются источники синусоидальных ЭДС , то уравнение будет иметь два чисто мнимых и сопряжен­ных корня и . Подстановка этих корней в формулу разложения в сумме дает синусоидальную функцию времени, кото­рая соответствует установившейся состав­ляющей искомой функции:

3) Если уравнение имеет два комплексно сопряженных корня и , то подстановка этих корней в фор­мулу раз­ложения в сумме дает синусоидальную функцию с затухающей амплиту­дой:

4) Если уравнение имеет кратные корни ( ), то фор­мула разложения неприменима. Случай кратных корней может встретиться в практике крайне редко. Чтобы применить формулу разложения в этом случае достаточно несущественно изме­нить параметры одного из элементов схемы.

Пример.Для схемы рис. 138 с заданными параметрами элементов (Е=100 В, R=50 Ом, R1=20 Ом, R2=30 Ом, С=83,5 мкФ) определить ток после коммутации.

 

 


1) Определяется независимое начальное условие из расчета схемы рис. 138 в состоя­нии до коммутации:

B

2) Составляется операторная схема цепи после коммутации (рис. 139):


 

 

 


3) Составляется система контурных уравнений для схемы рис. 139 в операторной форме:

4) Производится решение операторных уравнений относительно ис­комой функции I1(p):

 

,

где ; ;

 

5) Корни уравнения :

;

 

6) Коэффициенты для отдельных корней pk:

;

7) Окончательное решение для искомой функции времени:

A

 

15. Анализ переходных процессов в цепи R, L

 

Исследуем, как изменяется ток в цепи с резистором R и катушкой L в пере­ходном режиме. В качестве примера рассмотрим переходной процесс при включении цепи R, L к источнику а) постоянной ЭДС =const и б) переменной ЭДС (рис. 140).

Расчет переходного процесса выполним классическим методом.

 

 


а) Включение цепи R, L к источнику постоянной ЭДС .

Общий вид решения для тока:

Установившаяся составляющая тока: .

Характеристическое уравнение и его корни:

.

Независимое начальное условие: .

Постоянная интегрирования: .

Окончательное решение для искомой функции:

,

где − постоянная времени, численно равная времени, за которое ам­плитуда сво­бодной составляющей затухает в раза. Чем больше , тем медленнее затухает переходной процесс. Теоретически затуха­ние свободной составляющей про­должается до бесконечности. Техническое время переходного процесса определя­ется из условия, что за это время свободная составляющая уменьшается до 0,01 от ее первоначального значения:

, откуда .

На рис. 141 представлена графическая диаграмма искомой функции

 

 


Для приближенного построения графической диаграммы свободной составляю­щей можно воспользоваться таблицей значений этой функции в интервале времени :

 

t 0,5 1,0 1,5
0,61 0,37 0,22 0,14 0,05 0,02

 

Постоянная времени может быть определена из графической диа­граммы функции как отрезок времени , по краям которого от­ношение значений функции равно раза (рис. 141).

б) Включение цепи R, L к источнику синусоидальной ЭДС

Общий вид решения для тока:

Характеристическое уравнение и его корни:

Установившаяся составляющая тока:

, откуда следует

,

где , , .

Независимое начальное условие:

Постоянная интегрирования:

, откуда

Окончательное решение для искомой функции:

Из анализа решения видно, что амплитуда свободной составляющей А зависит от начальной фазы источника ЭДС. При эта ам­плитуда имеет макси­мальное значение , при этом переходной процесс протекает с максималь­ной интенсивностью. При ампли­туда свободной составляющей равна нулю, и переходной процесс в цепи вообще отсутствует. На рис. 142 представлена графическая диаграмма иско­мой функции при , .

 

16. Анализ переходных процессов в цепи R, C

 

Исследуем характер переходных процессов в цепи R, C при включе­нии ее к источнику а)постоянной ЭДС , б)переменной ЭДС (рис. 143).

 

 


а) Включение цепи R, C к источнику постоянной ЭДС

Общий вид решения для напряжения :

.

Установившаяся составляющая напряжения: :

Характеристическое уравнение и его корни:

, где - постоянная вре­мени.

Независимое начальное условие: .

Постоянная интегрирования: .

Окончательное решение для искомой функции:

,

.

Подсчитаем баланс энергий при зарядке конденсатора.

Энергия источника ЭДС:

Энергия, выделяемая в резисторе R в виде тепла:

.

Энергия электрического поля конденсатора:

Таким образом, энергия электрического поля конденсатора составляет ровно поло­вину энергии источника и не зависит от величины сопротивления зарядного резистора R (закон половины).

Графические диаграммы функций и показаны на рис. 144.

б) Включение цепи R, C к источнику синусоидальной ЭДС .

Общий вид решения для напряжения :

 

 


Характеристическое уравнение и его корень:

Установившаяся составляющая напряжения:

, откуда

,

где , , .

Независимое начальное условие: .

Определение постоянной интегрирования:

; откуда .

Как следует из полученного уравнения, амплитуда свободной составляю­щей за­ви­сит от начальной фазы источника ЭДС. При эта амплитуда имеет максимальное значение , при этом переходной процесс протекает с макси­мальной ин­тенсивностью. При амплитуда свободной составляющей равна нулю и переходной процесс в цепи отсутствует.

 

18. Анализ переходных процессов в цепи R, L, C

 

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом ис­точника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес пред­ставляют свободные составляющие, так как харак­тер свободного процесса ока­зывается существенно различным в зависимости от того, явля­ются ли корни ха­рактеристического уравнения вещественными или комплексными сопря­жен­ными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 145).

 

 

Общий вид решения для тока: .

Установившаяся составляющая: .

Характеристическое уравнение и его корни: , откуда:

; .

Дифференциальное уравнение: .

Независимые начальные условия: ; .

Зависимое начальное условие: ; откуда .

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения сис­темы уравнений:

, откуда .

 

Окончательное решение для тока:

.

Исследуем вид функции при различных значениях корней характе­ристиче­ского уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу. Это имеет место при условии или , тогда , , причем , .

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции и убывают по экспоненци­альному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность . Из этого следует вывод, что искомая функция тока в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в проме­жутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, дос­тигая при некотором зна­чении времени своего максимального значения . Найдем этот момент времени:

, или , откуда .

Графическая диаграмма функции для случая вещественных корней характери­стического уравнения показана на рис. 146.

 

 


Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: .

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристи­ческого уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Это имеет ме­сто при соотношении параметров или , тогда

,

где - коэффициент затухания, - угловая частота собст­венных ко­лебаний.

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

.

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристи­ческого уравнения искомая функция изменяется во времени по гармониче­скому закону с затухающей амплитудой . Графическая диаграмма функции показана на рис. 147.


 


Период колебаний , продолжительность переходного процесса определя­ется коэффициентом затухания: .

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях ха­рактери­сти­ческого уравнения получил название колебательного или периодиче­ского.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляю­щей применяют частную форму:

или ,

где коэффициенты и или и являются новыми постоянными ин­тегри­рова­ния, ко­торые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу. Это имеет место при условии или , тогда .

Полученное ранее решение для искомой функции в этом случае ста­новится не­определенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая , а , которая стре­мится к . Тогда получим:

.

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является гра­ничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухаю­щего. Продолжительность переходного про­цесса . При изменении только сопро­тивления резистора затухающий характер переходного процесса соответст­вует об­ласти значений , колебательный характер - также области значе­ний , а критический характер – одной точке . По­этому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей при­меняют ча­ст­ную форму:

,

где коэффициенты и являются новыми постоянными ин­тегрирования, ко­торые опре­деляются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его про­должитель­ность имеет минимальное значение . Указанное свойство находит при­менение в электротехнике.

 






Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 282; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.107 сек.