ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Линейные операторы и действия над ними

Пусть имеются два множества функций M и N.

Определение 2.1. Оператором над множеством функций M называется такое преобразование, которое каждой функции из множества М ставит в соответствие функцию из множества N .

Примеры операторов

Пример 1. Пусть М – множество функций, дифференцируемых n раз.

Нахождение первой производной – оператор над множеством функций М, обозначают его D или

Нахождение второй производной – также оператор, обозначают его или

Нахождение n-й производной – оператор, обозначают его или

Пример 2. Однократное, двукратное, n-кратное интегрирование – операторы, для которых употребляются символы … или

Пример 3. Пусть – функция вещественного аргумента – комплексное число; Если сходится то он является некоторой функцией аргумента p:

Интеграл, стоящий справа, называется интегралом Лапласа. Преобразование, по которому функции ставится в соответствие функция , называется преобразованием или интегральным оператором Лапласа.

Пример 4. Пусть дважды дифференцируемая функция и

Преобразование, по которому функции U ставится в соответствие функция , называется дифференциальным оператором Лапласа.