Функции с ограниченным ростом

Пусть – комплекснозначная функция вещественного аргумента t; т.е. где и - вещественнозначные функции вещественного аргумента Рассмотрим интеграл

(2.1)

Допустим, что есть такое вещественное число s, что интеграл сходится. Тогда он сходится и при любом . Действительно, так как

то

Интеграл, стоящий справа, сходится по условию. Интеграл, стоящий слева, берется от неотрицательной функции и мажорируется сходящимся интегралом, поэтому он тоже сходится.

Исходя из этого логически возможны три случая:

1) Найдется такое число , что при всех интеграл (2.1) сходится, а при расходится.

2) Интеграл сходится при всех s, т.е. .

3) Интеграл расходится при всех s, т.е. .

В первом и во втором случае говорят, что функция имеет ограниченный рост, - показатель роста функции.

В третьем случае называют функцией с неограниченным ростом.

Теорема 2.1

Если можно подобрать два такие положительные числа и M, что для любого т.е. если растет медленнее, чем некоторая экспоненциальная функция, то функция имеет ограниченный рост с показателем роста, меньшим .

Доказательство

если .

Итак, сходится при всех , следовательно, имеет ограниченный рост с показателем s₀, s₀ < s₁.

К функциям с ограниченным ростом относятся:

.

Примерами функций с неограниченным ростом являются: