Достаточные признаки сходимости положительных рядов.
Первый признак сходимости. Пусть даны два ряда (43) и
(44), причём каждый член ряда (43) не превосходит соответствующего члена pяда (44), то есть , n = 1,2… Тогда если сходится ряд (44), то сходится и ряд (43), ели расходится ряд (43), то расходится и ряд (44).
Рассмотрим вспомогательные ряды:
1) называется гармоническим. Он является расходящимся;
2) - обобщенный гармонический ряд, сходится при a > 1 и расходится при a £ 1.
Геометрическая прогрессия, гармонический и обобщенный гармонический ряд очень часто используется при исследовании рядов с помощью признаков сравнения.
Пример 94 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. , а ряд - сходится, как геометрическая прогрессия. Следовательно, по первому признаку сходимости искомый ряд сходится.
Второй признак сходимости. Пусть даны два ряда (43) и
(44), если существует конечный ¹ 0, то ряды (43) и (44) сходятся или расходятся одновременно.
Пример 95. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд: - гармонический расходящийся ряд. Вычислим предел :
= ¹0.
Значит, по второму признаку сходимости и данный ряд расходится.
Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда существует , то при D < 1 ряд сходится, а при D >1 ряд расходится. При D = 1 признак Даламбера вопрос о сходимости не решает.
Пример 96. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Так как U n = , U n+1 = , то D = = < 1, поэтому данный ряд сходится по признаку Даламбера.
В тех случаях, когда признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости, применяют интегральный признак Коши:
Интегральный признак Коши. Пусть члены знакоположительного ряда (43) являются значениями при x = 1,2,3,…, n,.. некоторой функции f(x) положительной, непрерывной, убывающей на интервале :
U1 = f(1), U2 = f(2),…, Un = f (n).
Тогда: а) если - сходится, то сходится и ряд (43);
б) если - расходится, то ряд (43) также расходится.
Пример 97. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Если применить признак Даламбера, то , сказать о сходимости или расходимости нельзя. Применим интегральный признак Коши:
- lnln3 = ¥. Несобственный интеграл расходится, а значит, расходится и данный ряд по интегральному признаку сходимости.
Признак Коши. Если для ряда (1) существует , то этот ряд сходится при C<1 и расходится при C >1.
Пример 98. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Рассмотрим предел
= < 1, следовательно, ряд сходится по признаку Коши.
Знакопеременный ряд – ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ряд – ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным членом положительный:
(45)
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (45) абсолютные величины членов убывают: и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.
Пример 99. Исследовать на сходимость ряд. .
Решение. Данный ряд является знакочередующимся, поэтому применяем признак Лейбница:
1) ;
2) . Оба условия выполнены, значит, ряд сходится по признаку Лейбница.
Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если - расходится.
Пример 100. Исследовать на условную и абсолютную сходимость:
а) ; б) .
Решение. а) Рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин, то есть ряд . Он сходится, как обобщенный гармонический ряд, следовательно, искомый ряд сходится абсолютно.
б) Ряд составленный из абсолютных величин - расходится. Исследуем его на условную сходимость. Применим признак Лейбница:
1) ;
2) .
Ряд сходится по признаку Лейбница, следовательно, искомый ряд сходится условно.
14.2. Степенные ряды.
Ряд члены которого функции от x называется функциональным.
Совокупность значений x, при которых функции определены и ряд - сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Каждому значению из области сходимости X соответствуют определенные значение величины . Эту величину являющейся функцией от x, называется суммой функционального ряда и обозначают S(x). Если функциональный ряд сходится и имеет сумму S(x), то разность - называется n-ым остатком функционального ряда.
Степенным рядом называется ряд вида
(46 )
где a и коэффициенты ряда - постоянные, в частности при a =
= 0 Þ (47)
Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R, R), к которому, в зависимости от конкретных случаев могут быть добавлены концевые точки –R и R.
Интеграл называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины, т.е. число R – радиусом сходимости, который можно вычислить по формуле:
(48)
А интервал (а - R; a + R) является интервалом сходимости ряда (46). Областью сходимостью степенного ряда является интервал сходимости плюс концевые точки интервала, если в них сходится ряд.
Пример 101. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Находим интервал сходимости по формуле (48):
= . Значит, область сходимости степенного ряда вся числовая прямая.
Пример 102. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Находим интервал сходимости по формуле (48):
= , следовательно, интервалом сходимости данного ряда является интервал (1-1;1+1) = (0;2). Исследуем сходимость на концах интервала.
1) при х = 0 получаем знакочередующийся ряд , который сходится по признаку Лейбница: и .
2) при х = 2 получаем гармонический ряд , который является расходящимся.
Значит, - область сходимости данного степенного ряда.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 434;