Модуль 15. Гармонический анализ

Этот ряд называется тригонометрическим, числа - называют коэффициентами тригонометрического ряда или его можно записать в виде

Допустим, что функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд (49)

Если периодическая функция f(x) с периодом является суммой равномерно сходящегося на тригонометрического ряда (49), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

, , .

Данные коэффициенты называют коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд , коэффициенты которого определяются по формулам Фурье, называю рядом Фурье.

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Если f (x) – чётная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

, где .

Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, , .

Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид: .

Если функция f (x) – задана на , где l – произвольное число, то при выполнении на этом отрезке условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряд Фурье:

,

где , .

Пример 104. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = определенную в интервале (- p; p ).

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье функции f(x).

а ₀ = = + =

= + = - + p = .

а _n = = +

+ = (I₁ + I₂). Интегралы I₁, I₂ интегрируем по частям: I₁ = = -

- = = .

I₂ = = - = =

= = . Итак, а_n = + =

= . Аналогично вычисляем коэффициент b_n:

b_n = = + =

= = ( + ) +

+ ( + ) = (- - )= .

Следовательно, ряд Фурье для функции f(x) имеет вид:

f(x) = + .