Модуль 14. Числовые и функциональные ряды.
Числовые ряды.
Пусть дана числовая последовательность чисел: Числовым рядом называется выражение
= , (43)
где - общий член ряда. Сумма Sn первых n членов ряда называется n - ой частичной суммой ряда: .
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм Sn при неограниченном возрастании номера n, то есть .
Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.
Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.
Геометрическая прогрессия: является сходящимся рядом при и расходящимся при .
Рассмотрим простейшие свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд (43) сходится и имеет сумму S, то ряд образованный из произведений всех членов данного ряда на одно и тоже число l: , то же сходится и имеет сумму lS.
2. Если ряд (43) и ряд (2), то есть ряд , сходятся, то ряд, образованный сложением соответствующих членов данных рядов: , тоже сходится.
3. Если ряд (43) сходится, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа членов.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (43) сходится, то общий член стремится к нулю при n ® ¥.
Стремление к нулю общего члена является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Если Un не стремится к нулю, то ряд (43) расходится.
Пример 93. Доказать расходимость ряда .
Решение. Здесь - необходимое условие выполнено, но ряд расходится. Покажем это: . Так как , то . , следовательно, ряд расходится.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 421;