Модуль 14. Числовые и функциональные ряды.


Числовые ряды.

Пусть дана числовая последовательность чисел: Числовым рядом называется выражение

= , (43)

где - общий член ряда. Сумма Sn первых n членов ряда называется n - ой частичной суммой ряда: .

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм Sn при неограниченном возрастании номера n, то есть .

Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Геометрическая прогрессия: является сходящимся рядом при и расходящимся при .

Рассмотрим простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (43) сходится и имеет сумму S, то ряд образованный из произведений всех членов данного ряда на одно и тоже число l: , то же сходится и имеет сумму lS.

2. Если ряд (43) и ряд (2), то есть ряд , сходятся, то ряд, образованный сложением соответствующих членов данных рядов: , тоже сходится.

3. Если ряд (43) сходится, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа членов.

 

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (43) сходится, то общий член стремится к нулю при n ® ¥.

Стремление к нулю общего члена является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Если Un не стремится к нулю, то ряд (43) расходится.

Пример 93. Доказать расходимость ряда .

Решение. Здесь - необходимое условие выполнено, но ряд расходится. Покажем это: . Так как , то . , следовательно, ряд расходится.

 



Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 411;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.