Модуль 9. Векторный анализ


Скалярное и векторное поле. Если каждой точки М области V поставлено в соответствие некоторое число u(М) (некоторый вектор F(M)), то говорят что в V задано скалярное поле (векторное поле).

Если введены декартовы координаты, то понятие скалярного поля совпадает с понятием функции трех или двух переменных: u = u (x,y,z) или u = u (x,y), а в векторном поле F(M) можно представить как совокупность трех функций: F(M) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k.

Производная по направлению.Для изучения поведения поля

z = ¦(x, y) в точке М0(x0, y0) в направлении вектора следует через М0 провести прямую с направляющим вектором и исследовать функцию z(t) в точке М0 (т.е. при t = 0 характеризует скорость изменения поля в этой точке в направлении ). Если величину z ¢(0) разделить на , то получим производную по направлению данного скалярного поля в данной точке:

где .

Вычисление производной по направлению производится с помощью следующей формулы:

, где cos a, cos b - направляющие косинусы.

Градиент скалярного поля. Градиентом скалярного поля u(M) называют вектор

grad u = .

Величина grad u определяется формулой

.

В декартовой системе координат производная по направлению вектора авычисляется по формуле

,

a, b, g - углы, образованные вектором а с осями координат.

Если вектор а имеет направление grad u, то

.

Пример 41.Дана функция z = xy2. Найти производную в точке

А (0,5;0,5) в направлении градиента функции.

Решение. Так как то = y2i +2xyj, следовательно, a= ;

Направляющие косинусы градиента следующие: cos .

Следовательно, т.е. .

Пример 42. Дана функция z = xy. Найдем ее производную в точке Р ( 5, 1) в направлении от этой точки к точке Q (7, -1).

Решение. Находим частные производные функции z = xy и вычисляем их значения в точке Р:

.

Так как вектор PQ имеет координаты {2,-2}, то |PQ| = =

=2 , а его направляющие косинусы .

Следовательно, . Знак минус означает, что функция z в этом направлении убывает.

Пример 43.Найти величину и направление градиента скалярного поля z = x3 +y3 - 2xy в точке М0 (2,1).

Решение. Находим частные производные функции z:

-2х, их значения в точке М0:

.

Получаем (grad z)M = 10i - j, а величина градиента .

 

 



Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 378;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.