Производная и дифференциал

Dz = ¦(x + Dx, y + Dy) – ¦(x, y),

где Dx, Dy – приращения независимых переменных. Частными приращениями по x и по y называются соответственно величины:

D _х z = ¦(x + Dx, y) - ¦(x, y), D_yz = ¦(x, y + Dy) - ¦(x, y).

Частными производными функции z по x по y в точке (x, y) называются соответственно величины: (при условии, что эти пределы существуют). Для них приняты обозначения: .

Функция z = ¦(x, y) называются дифференцируемой в точке (x, y), если ее приращение в этой точке представимо в виде

Dz = A(x, y)Dx + B(x, y)Dy + o (r),

r = где о (r) – величина более высокого порядка малости по сравнению с r при r®0 (т.е. о(r)/r®0 при r®0). В этом случае в точке (x, y) существуют частные производные, причем z¢_x =

= A(x, y), z¢_y = B(x, y). Обратно, если функция имеет в точке (x, y) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

!Если рассмотреть многомерную функцию полезности u (x₁, x₂, …,x_n), то вектор составленный из частных производных функции полезности называют вектором предельной полезности.

Необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума функция имеет первые частные производные, то они обращаются в этой точке в нуль. Отсюда следует, что для отыскания точек экстремума такой функции z = ¦(x, y) следует решить систему уравнений ¦¢_x(x, y) = 0, ¦¢_y(x, y) = 0. Точки, координаты которых удовлетворяют этой системе, называются критическими точками функции. Среди них могут быть точки максимума, точки минимума, а также точки, не являющиеся точками экстремума.

Достаточные условия экстремума используются для выделения точек экстремума из множества критических точек и перечислены ниже.

Пусть функция z = ¦(x, y) имеет в критической точке непрерывные вторые производные. Если в этой точке выполняется условие

D = ¦¢¢_xx¦¢¢_yy – (¦¢¢_xy)² > 0,

то она является точкой минимума при ¦¢¢_xx > 0 и точкой максимума при

¦¢¢_xx < 0. Если в критической точке D < 0, то она не является точкой экстремума. В случае D = 0 требуется более тонкое исследование характера критической точки, которая в этом случае может быть точкой экстремума, а может и не быть таковой.

Пример 39.Найти экстремум функции

f (x, y) = x² + y² – 4x + 6y +17.

Решение. Находим частные производные f ¢_x = 2x – 4, f ¢_y = 2y + 6, f ²_xx = 2, f ²_xy = 0, f ²_yy = 2. Решаем систему

или Þ х = 2, у = -3.

Используя достаточные условия экстремума D = 2 × 2 - 0 = 4 > 0,

А = 2 > 0, делаем вывод, что точка М₀ (2, -3) - точка минимума, причем min f (x, y) = f (2, - 3) = 4.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения. Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции z= f(x,y) в замкнутой области, нужно:

1) найти все стационарные точки внутри этой области, вычислить значение функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области;

3) из всех этих чисел выбрать соответственно наибольшее и наименьшее значение.

Пример 40.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = f (x, y) = 3 – 2x² – xy – y² в замкнутой области, заданной системой неравенств: х £ 1, у ³ 0, у £ х.

Решение:

1. Область представляет собой треугольник ОАВ (рис.12), причем

О (0, 0), А (1, 0), В (1, 1). Находим стационарные точки внутри области:

f ¢_x = - 4x – y, f ¢_y = -x – 2y; f ¢_x = 0, f ¢_x = 0, f ¢_y = 0, при х = 0, у = 0;

f (0, 0) =3.

2. На стороне ОА: у = 0, 0£ х £ 1 функции z = f (x, 0) = 3 – 2x² зависит от одной переменной х; z¢ (x)= -4x, z²(x) = -4, z¢(x) = 0 при х = 0; z²(0) = -4<0, x=0 – точка максимума: z (0) = f (0, 0) = 3.

3. На прямой АВ: х = 1, 0£ у £ 1, функция z = f (1, y) = 3 – 2 – y – y² =

= 1 – y – y² зависит только от y; z¢ (y) = -1 – 2y, z ¢ (y) = 0 при

y = -1/2, но эта точка не принадлежит отрезку АВ.

4. На стороне ОВ: у = х, 0 £ х £ 1 функция зависит только от х: z = f (x, x) = 3 – 2x² – x² – x² = 3 – 4x² , z ¢(x) = -8x, z ²(x) = -8, z = 0 при х = = 0, z ²(0) = -8 < 0, f (0, 0) = 3.

Вычисляем значения функции в точках А и В: f (A) = f (1, 0) = 1,

f (B) = f (1, 1) = -1.

Следовательно, в заданной области наименьшее значение данной функции равно –1, а наибольшее равно 3.