В дифференциальной форме.

Применим названные законы для малого контура l₀, ограничивающего некоторую поверхность DS, сквозь которую проходит ток Di (либо магнитный поток DФ). Стягивая контур l₀, в точку, т.е. устремляя DS к нулю, рассмотрим пределы отношений обеих частей уравнений к величине DS, при ее стремлении к нулю:

;

(В законе электромагнитной индукции в правой части стоит частная производная по времени, так как поток изменяется и во времени и за счет уменьшения размеров площадки DS, охваченной контуром интегрирования).

Для правой части закона полного тока можем записать:

,

где b – угол между вектором плотности тока и нормалью к поверхности, ограниченной контуром интегрирования l_o. Предел отношения в левой части уравнения называется проекцией ротора вектора на ту же нормаль:

.

Ориентируя нормаль к площадке вдоль осей координат, получим равенство всех компонентов рассматриваемых векторов. Это означает, что оба вектора равны друг другу. Поэтому можем записать закон полного тока в векторной форме:

.

Ротор вектора также является вектором, поэтому записанное уравнение содержит три уравнения для проекций вектора и является инвариантным по отношению к системе координат. Записать это уравнение в декартовой системе координат можно с помощью оператора «набла», применяя операцию векторного умножения:

=

= ( ) + ( ) + ( ) .

В скобках записаны проекции вектора плотности тока на оси координат:

J_x= ; J_y= ; J_z= .

По аналогии запишем выражение для закона электромагнитной индукции:

.

Оно также содержит три уравнения для проекций.