Расстояние от вектора до подпространства.

Из множества векторов, образующих R_n, можно выделить некоторое подмножество, обладающее свойствами линейного пространства, меньшей размерности , L<n. В этом случае говорят, что – подпространство пространстваR_nи Ì R_n.

Для любого вектора и не принадлежащего , можно найти модуль разности векторов , где (рис. 7.4). Изменяя можно найти такой вектор , который обеспечивает минимальную длину h разности . Эта минимальная длина называется расстоянием от вектора до подпространства , т.е. .

Объем “n” – мерного параллелепипеда, как обобщение понятий длины, площади, объема трехмерного параллелепипеда, определяется следующим образом.

1. Объем параллелепипеда, построенного на одном векторе есть длина данного вектора: .

2. Если объем параллелепипеда , образованного k векторами уже построен, то объем параллелепипеда, образованного векторами , выходящих из одной точки, равен , где есть расстояние от конца вектора до подпространства , образованного .

3. Параллелепипед, построенный на двух векторах =(а₁₁, а₂₁)^t, =(а₁₂, а₂₂)^t является параллелограммом и объем (площадь) такого параллелепипеда равна произведению длины одного вектора на длину перпендикуляра проведенного из конца второго вектора на первый (на расстояние от второго вектора до первого), , где j -угол между векторами (рис. 7.5 ).

Перейдем к доказательству исходного тезиса относительно определителя матрицы.