Векторами и комплексными числами
Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, имеющие частоту ω, можно изображать векторами на плоскости декартовых координат, вращающимися с угловой скоростью, равной ω, причем длина вектора определяется в соответствующем масштабе амплитудой ЭДС, напряжения или тока.
Пусть мы имеем две синусоидальные ЭДС:
и .
Изобразим их в виде векторов в момент времени равный нулю (рис. 2.2). Начальные фазы этих синусоидальных ЭДС откладываются от горизонтальной оси против часовой стрелки, если они положительны, и по часовой стрелке, если они отрицательны. Длины векторов равны соответствующим амплитудным значениям.
Найдем ЭДС е, равную сумме ЭДС е1 и е2. Тогда эта ЭДС е будет изображаться вращающимся вектором, равным геометрической сумме векторов, изображающих ЭДС е1 и е2.
В любой момент времени взаимное расположение этих вращающихся векторов будет оставаться неизменным, поэтому достаточно построить векторы в момент времени равный нулю, и все операции выполнять над ними.
Совокупность векторов, характеризующих процессы, происходящие в той или иной цепи синусоидального тока, и построенных с соблюдением правильной ориентации их друг относительно друга для момента времени равного нулю, называют векторной диаграммой.
Так как обычно мы интересуемся действующими значениями синусоидальных функций, которые в раз меньше их амплитуд, то целесообразно на векторной диаграмме длину векторов выбирать равной, в избранном масштабе, действующим значениям ЭДС, напряжений или токов. На рис. 2.3 изображена векторная диаграмма напряжения u и тока i, причем ток отстает от напряжения на угол φ, который на векторной диаграмме всегда показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.
Синусоидальную функцию можно изобразить вектором (рис. 2.4) на комплексной плоскости или записать в виде комплексного числа в показательной форме:
, где – модуль комплексного числа, равный действующему значению синусоидальной функции, который на векторной диаграмме соответствует длине вектора в выбранном масштабе напряжений; ψ – аргумент комплексного числа, соответствующий начальной фазе синусоидальной функции, которая на комплексной плоскости откладывается от положительного направления оси действительных чисел;
j = – мнимая единица.
Комплексная величина в соответствии с формулой Эйлера может быть записана также в тригонометрической и алгебраической формах записи:
где - действительная часть комплексного числа;
- мнимая часть комплексного числа.
Для обратного перехода от алгебраической к показательной форме записи необходимо найти модуль этого комплексного числа с помощью теоремы Пифагора (рис. 2.4) и аргумент путем определения тангенса соответствующего угла:
, .
Тогда полностью все формы записи комплексной величины и связь между ними можно записать:
Тогда векторная диаграмма представляет собой совокупность векторов токов и напряжений, построенных на комплексной плоскости.
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 418;