Собственные числа и собственные вектора

Для анализа внутренней структуры линейного преобразования целесообразно найти вектора, которые данное преобразование изменяет наиболее просто. Таким свойством обладают собственные вектора матрицы, удовлетворяющие соотношению

,

где l - коэффициент, показывающий изменения длины вектора, т.е. образ вектора совпадает с прообразом по направлению и отличается от него лишь длиной.

Умножим представленное соотношение слева на единичную матрицу E и перенесем все члены в левую часть.

Матрица называется характеристической матрицей. Очевидно, что она имеет вид:

Для вычисления вектора нужно решить систему . Эта система однородна (в правой части стоит нулевой вектор) и имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель матрицы равен нулю ( ). В этом случае в матрице есть линейно зависимая строка, а в системе уравнений – линейно-зависимое уравнение. Удалив это уравнение и задав произвольное значение одной из координат вектора , решением оставшейся части системы можно найти остальные координаты .

Для того чтобы найти значение числа l, при котором определитель обратился в ноль, нужно аналитически выписать определитель матрицы, приводя подобные члены относительно степеней l. В общем случае для матрицы размерностью nполучим характеристическое уравнение степени n:

.

Известно, что решением уравнения степени nявляется n значений . Числа l_i называются собственными числами (значениями) матрицы. Обычно l_i располагают в ряд по уменьшению модуля, при этом максимальное значение обозначают через l₁ , а минимальное через l_n .

Пусть в качестве базиса принята совокупность собственных векторов и вектор имеет в этой системе координаты , . Тогда . Поскольку то , т.е. при линейном преобразовании координаты вектора по величине сокращаются (l_i < 1) или удлиняются (l_i > 1) пропорционально собственным числам. Линейное преобразование в базисе собственных векторов имеет диагональную матрицу

.

Если собственные числа l_i различны, то собственные вектора линейно-независимы. Отметим, что если является собственным вектором, то любой вектор также будет собственным вектором, т.е. для каждого l_i имеется не один собственный вектор, а бесчисленное множество векторов, лежащих на одном и том же направлении.

Таким образом, в базисе из линейно-независимых собственных векторов матрица линейного преобразования преобразует вектор путем растяжения, сжатия или разворота (l<0) координат вектора (умножение проекций на соответствующие собственные числа).

Пример: Найти собственные числа и собственные вектора матрицы .

Характеристическая матрица имеет вид

Приравнивая нулю определитель матрицы , получим характеристическое уравнение, из которого можно найти собственные числа

. Отсюда .

Вычисление собственных векторов. Первый собственный вектор может быть найден из уравнения , или

.

Последнее матричное уравнение эквивалентно системе:

.

Нетрудно видеть, что уравнения линейно-зависимы, следовательно, любое из них, например второе, можно удалить. Тогда . Задавая , получим . Отсюда вектор .

Уравнение для второго собственного вектора приводит к системе:

Отбрасываем второе уравнение, задав , получим , т.е. .

Найденные вектора представлены на рис. 7.7.

Т.к. матрица А симметрична, то исходный ортонормированный базис преобразуется в ортогональный (можно сделать ортонормированным, поделив каждый вектор нового базиса на его длину).

Рассмотрим некоторый вектор и найдем его образ под действием матрицы :

В результате получаем вектор большей длины, расположенный под углом с исходным вектором (рис. 7.8).

Тот же вектор можно получить другим способом. Найдем проекции (OB, CB) вектора на собственные вектора и (числа a и b). Линейное преобразование заключается в умножении первой проекции (a) на первое собственное число , и второй проекции на величину . Геометрически складывая преобразованные проекции (OD и DE), получаем тот же вектор . Аналогично преобразуется любой иной вектор, лежащий на плоскости .

Если взять множество векторов, лежащих концами на единичной окружности, то матрица линейного преобразования будет в 3 раза вытягивать проекции на вектор и оставлять неизменными (l₂ = 1) проекции на . В результате окружность растягивается в эллипс. Таким образом, собственные числа и собственные вектора дают характеристику преобразования исходного пространства векторов.