Линейные преобразования


В линейном пространстве можно ввести функцию, ставящую в соответствие любому вектору некоторый вектор того же пространства:

,

где – функция преобразования пространства. Обозначение - называется оператором. Если вектор принадлежит одному пространству, ÎV, а вектор другому, , то говорят о преобразовании пространств V®W. Если пространство преобразуется в себя V®V, то это линейное преобразование.

Вектор - это образ вектора под действием преобразования , а вектор - прообраз вектора .

 

Преобразование называется линейным, если

1) ;

2) .

Пусть – некоторый базис в n- мерном пространстве Rn и – линейное преобразование, тогда для его определения достаточно задать образы всех векторов базиса, т.е. величины: Покажем, что это так.

Если – базис, то для любого вектора существует разложение:

Используя свойства линейного преобразования, получаем:

Если образы векторов базиса известны, то можно записать:

,

поскольку , как любой произвольный вектор, имеет разложение в существующем базисе. Тогда

.

Отсюда .

В результате , где матрица А линейного преобразования есть матрица, столбцами которой являются образы базисных векторов. Таким образом, любые линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и каждая матрица представляет некоторое линейное преобразование.

Пример. Линейное преобразование задано матрицей . Определить образ вектора .

Решение .

Определить прообраз вектора .

Решение. .



Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 425;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.007 сек.