Линейные преобразования
В линейном пространстве можно ввести функцию, ставящую в соответствие любому вектору некоторый вектор того же пространства:
,
где – функция преобразования пространства. Обозначение - называется оператором. Если вектор принадлежит одному пространству, ÎV, а вектор другому, , то говорят о преобразовании пространств V®W. Если пространство преобразуется в себя V®V, то это линейное преобразование.
Вектор - это образ вектора под действием преобразования , а вектор - прообраз вектора .
Преобразование называется линейным, если
1) ;
2) .
Пусть – некоторый базис в n- мерном пространстве Rn и – линейное преобразование, тогда для его определения достаточно задать образы всех векторов базиса, т.е. величины: Покажем, что это так.
Если – базис, то для любого вектора существует разложение:
Используя свойства линейного преобразования, получаем:
Если образы векторов базиса известны, то можно записать:
,
поскольку , как любой произвольный вектор, имеет разложение в существующем базисе. Тогда
.
Отсюда .
В результате , где матрица А линейного преобразования есть матрица, столбцами которой являются образы базисных векторов. Таким образом, любые линейные преобразования можно описывать с помощью матриц и каждая матрица представляет некоторое линейное преобразование.
Пример. Линейное преобразование задано матрицей . Определить образ вектора .
Решение .
Определить прообраз вектора .
Решение. .
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 425;