Преобразование координат при изменении базиса

Рассмотрим произвольный вектор . Его координаты в разных базисах безусловно отличаются

.

Вектор представим через базис : . Отсюда .

Выполним замену очередности суммирования .

Отсюда

или

;	(7.2 )
,	(7.3 )

где матрица В – матрица базиса в координатах базиса .

Пример. Пусть в базисе . Вектор представлен через базис . Определить представление этого вектора в базисе .

Решение.Матрица перехода из базиса в базис имеет вид . Отсюда

, т.е. .

То же самое можно получить иначе, через подста новку представлений векторов в базисе

.

Геометрический смысл определителя матрицы

В данном разделе ставится задача доказать, что определитель квадратной матрицы А, размерностью равен по модулю объему n – мерного параллелепипеда, построенного на столбцах матрицы как на векторах исходного пространства R_n, т.е. построенного на образах базисных векторов.

A= .

Для достижения поставленной цели необходимо ввести понятие расстояния от вектора до подпространства.