Доказательство на основе понятия расстояния от вектора до подпространства


Рассмотрим матрицу, построенную на векторах = , = . Объем фигуры (параллелограмма), построенной на данных векторах определяется произведением модуля вектора (объемфигуры векторного подпространства R1 меньшей размерности) на высоту h (минимальное расстояние от вектора R1 до подпространства R1, образованного вектором .

В подпространстве R1 найдется такой вектор R1, которому соответствует разность - , модуль которой определяет высоту h. В свою очередь, вектор является, во-первых частью , =λ , а, во-вторых,проекцией на

Исходя из определения скалярного произведения можно записать

.

Отсюда

= (7.4)

В последнем выражении второй сомножитель является единичным вектором, направленным вдоль вектора , и служит для преобразования скалярной величины (проекция) в векторную. Так как =λ , то

, (7.5)

а квадрат расстояния от до подпространства, образованного вектором

. (7.6)

При этом квадрат объема параллелепипеда

. (7.7)

Подставляя координаты векторов, получаем

.

что и требовалось доказать. Доказательство идентичности детерминанта матрицы и объема параллелепипеда на пространстве большей размерности выполняется по индукции, но в силу громоздкости доказательства оно здесь не приводится.

Оптимальное значение коэффициента λ (7.5), соответствующее вектору можно получить, решая оптимизационную задачу.

Минимальное расстояние от вектора до подпространства R1 определяется параметром λ из условия h=| -λ ,|, R1 . Поскольку модуль числа всегда положителен, то это эквивалентно . Дифференцируя данное выражение по λ и приравнивая результат к нулю, получаем

, что совпадает с (7.5).

Доказательство(7.7)на основе формулы площади параллелограмма

Высота h в параллелограмме определяется выражением . При этом

.

Отсюда , что совпадает с (7.7).



Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 598;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.