Доказательство на основе понятия расстояния от вектора до подпространства
Рассмотрим матрицу, построенную на векторах = , = . Объем фигуры (параллелограмма), построенной на данных векторах определяется произведением модуля вектора (объемфигуры векторного подпространства R1 меньшей размерности) на высоту h (минимальное расстояние от вектора R1 до подпространства R1, образованного вектором .
В подпространстве R1 найдется такой вектор R1, которому соответствует разность - , модуль которой определяет высоту h. В свою очередь, вектор является, во-первых частью , =λ , а, во-вторых,проекцией на
Исходя из определения скалярного произведения можно записать
.
Отсюда
= | (7.4) |
В последнем выражении второй сомножитель является единичным вектором, направленным вдоль вектора , и служит для преобразования скалярной величины (проекция) в векторную. Так как =λ , то
, | (7.5) |
а квадрат расстояния от до подпространства, образованного вектором
. | (7.6) |
При этом квадрат объема параллелепипеда
. | (7.7) |
Подставляя координаты векторов, получаем
.
что и требовалось доказать. Доказательство идентичности детерминанта матрицы и объема параллелепипеда на пространстве большей размерности выполняется по индукции, но в силу громоздкости доказательства оно здесь не приводится.
Оптимальное значение коэффициента λ (7.5), соответствующее вектору можно получить, решая оптимизационную задачу.
Минимальное расстояние от вектора до подпространства R1 определяется параметром λ из условия h=| -λ ,|, R1 . Поскольку модуль числа всегда положителен, то это эквивалентно . Дифференцируя данное выражение по λ и приравнивая результат к нулю, получаем
, что совпадает с (7.5).
Доказательство(7.7)на основе формулы площади параллелограмма
Высота h в параллелограмме определяется выражением . При этом
.
Отсюда , что совпадает с (7.7).
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 583;