Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.

Напомним, что углом между скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Другими словами, если прямые l_o и l₁ скрещиваются, то мы должны совершить параллельный перенос прямой l_o, так чтобы получилась прямая l_o¢ , пересекающаяся с l₁, и измерять угол между l_o¢ и l₁.

Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Его длина называется расстоянием между прямыми.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

l_o: = = , l₁: = = . (35)

Тогда сразу можем сделать вывод, что (a₁, a₂, a₃)½½ l_o, (b₁, b₂, b₃)½½ l₁, A_o(x_o, y_o, z_o)Î l_o, A₁(x₁, y₁, z₁)Î l₁. Составим матрицу

x₁– x_o y₁– y_o z₁– z_o

A = a₁ a₂ a₃,

b₁ b₂ b₃

и пусть D = detA.

Теорема 8. 1.Угол между l и p вычисляется по формуле

cos a = = . (36)

2.Прямые l_o и l₁ скрещиваются Û D ≠ 0.

3. Прямые l_o и l₁ пересекаются Û D = 0 и не коллинеарен .

4.l_o½½ l₁ Û rank A = 2 и ½½ .

5.l_o= l₁ Û rank A = 1.

Доказательство. 1.Угол a между прямыми l_o и l₁ может быть равен углу b между их направляющими векторами , , а может быть смежным с ним. В первом случае

cos a = cos b = ,

а во втором случае

cos a = – cos b =½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю. Обратите внимание, что на чертеже изображена не прямая l_o, а параллельная ей прямая l_o¢ .

2, 3.Очевидно, что прямые l_o и l₁ не параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы и не коллинеарны. При этом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются Û векторы , , компланарны Û их смешанное произведение равно нулю: = 0. А в координатах это произведение точности равно D .

Соответственно, если D ≠ 0, то векторы , , не компланарны, а значит, прямые l_o и l₁ не лежат в одной плоскости Þ они скрещиваются.

4, 5.Если l_o½½ l₁ или l_o= l₁, то ½½ . Но в первом случае вектор неколлинеарен и , и поэтому первая строка в матрице Aнепропорциональна второй и третей строкам. Значит, rank A = 2.

Во втором случае все три вектора , , коллинеарны друг другу, и поэтому, все строки

в матрицеA пропорциональны. Значит, rank A = 1.

И обратно, если ||, то прямые l_o и l₁ параллельны или совпадают; при этом, вторая и третья строки матрицы A пропорциональны. Если, при этом, rank A = 2, то первая строка матрицы непропорциональна второй и третьей, а значит, вектор неколлинеарен и Û l_o|| l₁. Если же rank A = 1, то все строки в матрицеAпропорциональны, а значит, все три вектора , , коллинеарны друг другу Û l_o= l₁.

Теорема 9. Пусть две прямые l_o и l₁ в пространстве заданы своими каноническими уравнениями (35). Тогда

1. если l_o½½ l₁ , то расстояние между l_o и l₁ находится по формуле

h = , (37)

2. если l_o и l₁ скрещиваются, то расстояние между ними находится по формуле

h = . (38)

Доказательство. 1.Пусть l_o½½ l₁. Отложим вектор от точки A_o, и на векторах и построим параллелограмм. Тогда его высота h будет расстоянием между l_o и l₁. Площадь этого параллелограмма: S =½ ´½ , а основание равно ½ ½. Поэтому

h = S/½ ½ = (37).

2.Пусть l_o и l₁ скрещиваются. Проведем через прямую l_o плоскость p_o½½ l₁, а через прямую l₁ проведем плоскость p₁½½ l_o.

Тогда общий перпендикуляр к l_o и l₁ будет общим перпендикуляром к p_o и p₁. Отложим векторы и из точки A_o и на векторах , и построим параллелепипед. Тогда его нижнее основание лежит в плоскости p_o, а верхнее – в плоскости p₁. Поэтому высота параллелепипеда будет общим перпендикуляром к p_o и p₁, а ее величина h будет расстоянием между l_o и l₁. Объем параллелепипеда равен ½ ½, а площадь основания – ½´½ Þ

h = V/S_осн = (38).

Следствие. Расстояние от точки A₁(x₁, y₁, z₁) до прямой l, заданной уравнением

l: = =

вычисляется по формуле (37).