Евклидово пространство
Линейное пространство Rnвекторов над полем Р вещественных чисел называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, где каждой паре векторов Î Rn поставлено в соответствие число, обозначаемое через и обладающее следующими свойствами:
и только если .
Ортонормированный базис это базис { , i=1,…,n}, где ( , )=0; ( , )=1
В ортонормированном базисе координаты вектора могут быть выражены через скалярное произведение , т.е. xi является проекцией вектора на вектор . Действительно, , поскольку в силу ортонормированности
В ортонормированном и только в ортонормированном базисе евклидового пространства для векторов – столбцов чисел – скалярное произведение может быть определено как , где -вектор строка.
По аналогии с трехмерным пространством можно определить понятие длины или модуля вектора:
, и угла между векторами: .
Скалярное произведение в произвольном базисе представляется более сложной функциональной зависимостью
, где
Пример. Пусть , (рис. 7.2).
Матрица коэффициентов
В результате .
Рис. 7.2. Произвольный базис |
В пространстве С[a,b] функций, определенных на отрезке [a,b] скалярное произведение
.
Из соотношений, характеризующих скалярное произведение векторов в пространстве непрерывных функций, следуют очень полезные в практических приложениях для предельных оценок
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 449;