Линейные пространства.
Основные понятия многомерных нормированных линейных пространств определены в курсе математического анализа, поэтому в данной главе дано лишь краткое изложение результатов, которые будут использоваться в задачах решения СЛУ итерационными методами и при анализе методов решения систем нелинейных и дифференциальных уравнений.
Основные понятия и определения
Пространство - совокупность конечного или бесконечного числа элементов, связанных общностью свойств, структуры, функций и др.
Вектор. Элементы пространства называются векторами. Обычно под вектором мы понимает некоторый направленный отрезок. Здесь понятие вектора шире, но не противоречиво. Вектор произвольного пространства можно представить в виде направленной структуры. В частности, вектор- столбец чисел размерности n может быть представлен в виде направленного отрезка, координатами которого (проекциями на оси) являются числа столбца. Например, на рис. 7.1 представлен вектор . Вектора, как правило, представляются либо буквами со стрелкой сверху, либо полужирным шрифтом.
Рис. 7.1. Вектор |
|
Коммутативность операций сложения и умножения на число: ` ; a =` a,
Дистрибутивность:
Ассоциативность:
Наличие общего элемента – нуля – Q:
Свойство умножения на единичный коэффициент, если a = 1, то a =
Если P – поле вещественных чисел, то пространство называется вещественным векторным пространством. Если же Р – поле комплексных чисел, то R называется комплексным линейным пространством.
Примеры:
· В3- множество всех векторов в трехмерном пространстве;
· Rn - упорядоченная совокупность n вещественных чисел (n-мерный вектор);
· множество C[a,b] – всех функции f(t), определенной на [a,b];
· множество Pn(t) всех алгебраических многочленов степени n;
· множество положительных вещественных чисел (здесь сумма векторов X+Y эквивалентна произведению чисел,а операция умножения вектора X на число λэквивалентна возведению в степень λ).
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 409;