Линейные пространства.

Вектор. Элементы пространства называются векторами. Обычно под вектором мы понимает некоторый направленный отрезок. Здесь понятие вектора шире, но не противоречиво. Вектор произвольного пространства можно представить в виде направленной структуры. В частности, вектор- столбец чисел размерности n может быть представлен в виде направленного отрезка, координатами которого (проекциями на оси) являются числа столбца. Например, на рис. 7.1 представлен вектор . Вектора, как правило, представляются либо буквами со стрелкой сверху, либо полужирным шрифтом.

Линейное пространство R над полем P – это множество векторов, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число из поля P, замкнутое относительно этих операций (если ,то ) и при наличии следующих свойств операций:

Коммутативность операций сложения и умножения на число: ` ; a =` a,

Дистрибутивность:

Ассоциативность:

Наличие общего элемента – нуля – Q:

Свойство умножения на единичный коэффициент, если a = 1, то a =

Если P – поле вещественных чисел, то пространство называется вещественным векторным пространством. Если же Р – поле комплексных чисел, то R называется комплексным линейным пространством.