Методы простой итерации и Зейделя-Гаусса для решения СНУ

Применительно к системам нелинейных уравнений методы простой итерации и Зейделя-Гаусса реализуются по тем же алгоритмам, что и при решении линейных систем. Отличие заключается в представлении рекуррентного выражения. Для применения рассматриваемых методов система уравнений , как и простое нелинейное уравнение, должна быть преобразована к виду , что позволяет записать рекуррентное выражение .

Пример. Методом простой итерации получить решение УУН в форме баланса токов с заданными мощностями в правой части уравнений. Исходные данные

Uб=10; ; ; ; .

Рекуррентное соотношение в общем виде

.

Рекуррентное соотношение для рассматриваемого примера

;

;

.

Первая итерация

=- =10;

=9,6;

=10,8.

Вторая итерация

=- =10,13; =9,9;

=10,58;

Точное решение =(10,24; 9,95; 10,77)^t

Метод Зейделя-Гаусса отличается от метода простой итерации только схемой вычислений: . Критерий сходимости метода Зейделя-Гаусса более сложен. Ускоренный метод Зейделя-Гаусса применяется как и для систем линейных уравнений.

Пример. Выполнить две итерации расчета напряжений предыдущего примера.

На первой итерации U₁ и U₂ такие же, как и в методе простой итерации. Для третьего узла =10,64.

Вторая итерация

=- =10,08; =9,86;

=10,71.

Третья итерация

=- =10,19; =9,91;

=10,75.

5.3. Критерий окончания расчета при применении итерационных методов

Теоретически итерационные методы дают точное решение при числе итераций, стремящемся к бесконечности. В практике точное решение чаще всего не нужно и можно удовлетвориться некоторым приближением. Кстати, даже прямыми методами нельзя получить точное решение, вследствие ограниченной разрядной сетки ЭВМ и ошибок округления.

Обычно итерационный процесс решения прекращают при выполнении одного условий:

; ; .