Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными:
или в виде вектор – функции
Разложим левые части уравнений в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничившись производными первого порядка.
Введем в рассмотрение вектора и матрицы:
Тогда полученное разложение можно записать компактно в матричной форме:
, где .
Матрица получила название матрицы Якоби. Элемент матрицы Якоби, стоящий на пересечении i-ой строки и j- столбца равен производной от i-го уравнения по j-ой переменной . Матрица Якоби является аналогом производной вектор – функции.
Линеаризация уравнений в окрестности точки позволяет записать рекуррентное соотношение метода Ньютона , .
Пример: Для решения системы УУН, соответствующей рис. 6.2 методом Ньютона выполнить одну итерацию.
.
Матрица Якоби имеет вид:
Рис. 6.2. Расчетная схема |
.
В качестве начальных приближений примем напряжения узлов равными напряжению базисного узла .
Вектор функций невязок мощности в узлах
.
Матрица Якоби
Для получения первого приближения решается система линейных уравнений:
, откуда
и ;
.
Для выполнения второй итерации нужно вычислить вектор =(-0,0086; -0,0029)t, найти значения матрицы Якоби
=
и вновь решить систему уравнений относительно вектора . Здесь . В результате второй итерации будет получено практически точное решение и .
5.2. Методы простой итерации и Зейделя-Гаусса
Рассмотрим нелинейное уравнение с одной переменной. Для получения рекуррентного соотношения простой итерации его нужно преобразовать к виду .
Ход итерационного процесса можно проследить графически, построив отдельно левую и правую части рекуррентного соотношения. Для произвольно взятого х0 проводится вертикаль до пересечения с . Значение будет принято в качестве х1 . Поскольку функция y=x имеет угол наклона равный 450, то х1 находится как абсцисса точки пересечения горизонтали с прямой y=x (рис. 6.3).
Возможны следующие реализации итерационного процесса: монотонная сходимость, , рис. 6.3, а; монотонная расходимость, , рис. 6.3, b, колебательная сходимость; рис. 6.4, а; колебательная расходимость, рис. 6.4, b.
Рис. 6.3. Метод постой итерации, монотонный процесс : а) ; b)
Рис. 6.4. Метод постой итерации, колебательный процесс : а) ; b)
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 563;