Загальні властивості збіжних послідовностей.

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо , то існує такий но­мер N, що при всіх виконується нерівність .

Приклад. Послідовність у розгорнутому вигляді така: . Для номерів усі члени послідовності будуть менші за 2.

Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює сталій, тобто

3. Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей.

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

Якщо для будь-якого n виконується нерівність і — збіжні, то .

Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n і , то

Приклад.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

Якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

Приклад. Довести, що при . При доведення очевидне. Нехай , тоді послідовність — монотонно спадна (див. рис. 3.8) і обмежена знизу . Отже, за теоремою Вейєрштрасса послідовність має границю, яку позначимо так: . Послідовність , за винятком першого члена, збігається з послідовністю , отже, . Звідси випливає, що , тобто або , але , отже, . Нехай тепер .

Розглянемо

Приклад.

Тема 7. Похідна функції

План

1. Означення похідної.

Означення похідної

Нехай функція визначена на деякому проміжку (а; b). Візьмемо значення і надамо аргументу приросту . Тоді функція набуде приросту . Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу і перейдемо до границі при :

. (7.1)

Якщо границя (4.1) існує і скінченна, вона називається похідною функції за змінною х і позначається

.

Означення. Похідною функції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

Приклад. Функція у = х². Знайти похідну в точках х = 3 і х = – 4.

l Надамо аргументу х приросту , тоді функція набуде приросту

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу , відшукаємо границю . Таким чином, .

Похідна в точці х = 3 , а похідна при х = – 4 буде .

Приклад. , де .

l Надавши аргументу приросту , дістанемо приріст функ­ції . Тепер знайдемо границю відношення при :

, тобто

Приклад. .

l Користуючись відомою з тригонометрії формулою

,

знайдемо приріст функції у точці і обчислимо границю:

,

;

.

Аналогічно можна дістати: .

Приклад. .

l Для цієї функції маємо

,

тобто .