Поняття числової послідовності та її границі

Означення. Числова функція , область визначення якої є множина натурального ряду чисел, називається числовою послідовністю, або просто послідовністю, і позначається , надалі писатимемо

Значення називаються чле­нами послідовності. Послідовність вважається заданою, якщо задано n-й член послідовності.

Приклад. Записати три перші члени послідовності . Маємо

Приклад. За заданими трьома першими членами послідовності знайти формулу n-го члена.

Задача розв’язується методом добору з наступною перевіркою .

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого , яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів виконується нерівність .

Позначення або .

Для стислого запису означення границі використаємо квантори: " — для будь-якого, будь-який; $ — існує, знайдеться;
: = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі послідовності. На числовій осі побудуємо e-окіл числа а, тобто інтервал (а – e; а + e), і покажемо, як розміщуватимуться точки, які відповідають членам послідовності , при (рис. 3.12).

Означення. Число а називається границею послідовності x_n, якщо для будь-якого e-околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номерів , усі члени послідовності перебувають в e-околі точки а (див. рис. 6.1).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Приклад. Довести за означенням, що .

Зауважимо, що n-й член послідовності ; сама послідовність така: . Для доведення потрібно за заданим знайти номер послідовності N,такий, що при всіх номерах виконуватиметься нерівність . Розв’яжемо останню нерівність відносно n:

Виберемо* . Тоді при нерівність виконується, а отже, виконується і нерівність , чим доведено, що Отже, для доведення за означенням певної границі послідовності досить побудувати функціональну залежність N від числа e, тобто знайти функцію N(e). У розглянутому прикладі функ­ція , і за заданим будь-яким завжди можна знайти відповідний номер N; наприклад при , при нерівність виконується.