Основні правила диференціювання
Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .
Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .
Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:
.
Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:
, де .
Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .
Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини на функцію u (x):
.
Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.
Таким чином, .
Похідна складної функції.Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.
Теорема 6. Якщо у = f (u) та — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .
Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.
Похідна неявної функції.Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.
Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.
Приклад. Знайти з рівняння .
l Оскільки у є функцією від х, то у2 розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .
Продиференціювавши по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .
Похідна оберненої функції.Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції
у = f (х) та .
Теорема 7. Похідна оберненої функції по змінній у дорівнює оберненій величині похідної від прямої функції .
Приклад. Обчислити похідну для функції .
l Задана функція обернена до функції . Згідно з теоремою 7 можна записати
.
Звідси .
Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо
.
Дата добавления: 2016-05-26; просмотров: 1995;