Властивості визначеного інтеграла
І. Якщо , то
ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто
ІІІ. Якщо та інтегровні на [a; b], то
IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто
V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю
VI. Якщо — інтегровна в будь-якому із проміжків: [a; b], [a; c], [с; b], то
VII. Якщо і інтегровна для то
VIII. Якщо , — інтегровні та для то
IX. Якщо f(x) — інтегровна та для то
Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.
Х. Теорема 7 (про середнє).
Якщо функція — неперервна для то знайдеться така точка що:
(8.5)
Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами та b – a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 7.6).
Рис. 8.3
Формула Ньютона—Лейбніца.
Розглянемо інтеграл , який буде функцією від верхньої межі інтегрування. Змінній х надамо приросту , що зумовить приріст функції.
(рис. 8.4)
Рис. 8.4
Теорема 8. Якщо функція f(x) неперервна для будь-якого то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування, тобто
(8.6)
Наслідки:
1. Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею від функції є одна із первісних для .
2. Будь-яка неперервна функція на проміжку має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею, тобто
Приклад. Знайти .
l Функція — неперервна на проміжку тому
Теорема 9. (Ньютона—Лейбніца). Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто
де (8.7)
Позначимо дію подвійної підстановки так: тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:
(8.8)
Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.
Приклад.
7. Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат.
Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.
І. Фігура обмежена лініями , y = 0, x = a, x = b (рис. 8.5). Функція — неперервна та Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: .
Якщо при виконанні всіх інших умов (рис. 8.6),
(8.9)
Рис. 8.5 | Рис. 8.6 | Рис. 8.7 |
ІІ. Фігура обмежена лініями (рис. 8.7). Функція — неперервна та Площа S такої фігури буде
(8.10)
Дата добавления: 2016-05-26; просмотров: 3458;