Диференціальні рівняння першого порядку.

2. Задача Коші.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна записати рівнянням

(9.1)

Це — ДР рівняння, що не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння (8.1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у вигляді

. (9.2)

Це ДР рівняння, що розв’язане відносно похідної, і його можна записати у вигляді або .

Якщо є дробом, , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

(9.3)

Означення. Розв’язком ДР називається функція , яка при підстановці у ДР перетворює його на тотожність. Графік функції називається інтегральною кривою.

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача інтегрування ДР

і має розв’язок

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

Приклад. ДР має розв’язок .

l Справді, . Підставивши в рівняння, дістанемо тотожність

Звичайно, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, попереднє рівняння має розв’язок , де С — довільний параметр.

Задача Коші

Розглянемо ДР .

Означення.Задача пошуку розв’язку , що задовольняє умови

при (9.4)

називається задачею Коші. Умови (9.4) називаються початковими умовами, числа називаються початковими значеннями.

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на розв’язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

то точка є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки (рис. 9.1).

Рис. 9.1

Приклад.Розглянемо ДР яка має особливу (0; 0). Розв’яжемо ДР

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

Розглянемо ДР .

Означення. Функція , що містить довільну сталу С, називається загальним розв’язком ДР, якщо функція є розв’язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння розв’язується відносно С. Розв’язок при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.

Приклад. ДР має загальний розв’язок

l Справді, маємо тотожність:

При довільних початкових значеннях , знаходимо значення довільної сталої С

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загаль­ний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

Приклад. ДР має розв’язок у формі Коші.

Означення. Задача знаходження розв’язків ДР називається інтегруванням ДР. Самий розв’язок називається також інтегралом ДР. Назва пояснюється розв’язуванням найпростішого ДР

Загальний розв’язок може бути знайдений у неявній формі: Тоді ця рівність називається інтегралом ДР. Функція також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР подається неявним рівнянням то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Розв’яжемо диференціальне рівняння

Рівняння можна записати у вигляді

Звідси знаходимо інтеграл ДР

Розглянемо детальніше питання про особливі розв’язки. Точки, в яких існує не єдиний розв’язок ДР можуть бути точками розриву функцій а також точками, в яких загальний інтеграл ДР не розв’язуваний відносно с, тобто Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають дискримінантними кривими.

Приклад. Розв’яжемо ДР

l Його можна записати у вигляді

ДР має загальний інтеграл і загальний розв’язок

Шукаємо особливі розв’язки з умови

Знаходимо

Дискримінантна крива y = 0 є розв’язком ДР, але не є частинним розв’язком. Цей особливий розв’язок можна було знайти з умови, що частина похідна

має розрив при y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 9.2.

Рис. 9.2

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

Приклад.ДР має загальний розв’язок і загальний інтеграл

З умови знаходимо дискримінантну криву
х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР зображено на рис. 9.3.

Рис. 9.3